在发生交通事故且您被认定为全责的情况下，关于对方住院费用的支付问题，这确实是一个涉及多方责任和法律法规的复杂情况。以下是我为您详细梳理的支付顺序和责任分配原则：
一、保险公司先行垫付
首先，根据《机动车交通事故责任强制保险条例》的相关规定，保险公司在接到通知后，有义务在交强险责任限额范围内（通常为一万元以内）垫付医疗费用。如果您的车辆还投保了商业三者险，那么超出交强险部分的医疗费用，也可以依据保险合同继续由保险公司进行赔付。这是最直接且通常也是最快捷的支付方式。
二、道路交通事故社会救助基金垫付
如果保险公司的垫付不足以覆盖全部医疗费用，或者肇事车辆未参加交强险，或者机动车肇事后逃逸等特殊情况，那么根据《道路交通事故社会救助基金管理试行办法》，道路交通事故社会救助基金将承担起垫付责任，确保受害者能够得到及时的治疗。救助基金管理机构后续有权向事故责任人进行追偿。
三、肇事方（即您）的垫付责任
虽然法律并未明确规定肇事方有先行垫付的绝对义务，但从侵权责任的角度来看，您对受害人的人身损害负有赔偿责任。因此，在实际操作中，如果保险公司和救助基金都无法及时垫付或垫付不足，您通常需要先行垫付医疗费用，以确保受害者能够得到及时的治疗。如果您拒绝垫付，受害方有权通过法律途径要求您进行赔偿。
四、受害方自行垫付与追偿
在特殊情况下，如事故责任尚未明确、您无力垫付或保险公司和救助基金均未履行垫付义务时，受害者可能需要自行先行垫付医疗费用。此时，受害者应保留好相关证据材料，如医疗费用清单、诊断证明等，以便后续通过协商、调解或诉讼等方式向您或保险公司追偿。
五、建议与总结
及时与保险公司沟通：在事故发生后，第一时间联系您的保险公司，了解垫付流程和所需材料，以便尽快启动垫付程序。
保留好相关证据：无论是由谁垫付医疗费用，都应确保保留好所有相关的医疗费用清单、诊断证明、发票等证据材料，以备后续追偿或理赔使用。
咨询专业律师：如果事故情况复杂或涉及较大金额的医疗费用，建议及时咨询专业律师，以获取更具体的法律帮助和指导。
综上所述，交通事故发生后医疗费用的支付是一个涉及多方责任和法律法规的复杂问题。为确保受害者能够及时获得治疗并维护自身权益，建议您积极配合并遵循相关法律法规的规定进行处理。