结论：双方打架后被第三方索要钱财并签下不合理调解书，是可以起诉第三方的。以下从多个角度进行分析：
一、法律背景与依据
调解书的效力：
- 调解书通常是在双方自愿、平等的基础上，通过协商达成的解决纠纷的协议。然而，如果调解书是在被胁迫、欺诈或存在重大误解的情况下签订的，那么该调解书可能不具有法律效力。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因重大误解、欺诈、胁迫等情形订立的合同（包括调解书），受损害方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
第三方的行为性质：
- 如果第三方利用双方打架后的混乱局面，以威胁、恐吓等手段索要钱财，并迫使双方签订不合理的调解书，那么第三方的行为可能构成敲诈勒索或胁迫等违法行为。
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，将受到刑事处罚。同时，以暴力、威胁或者其他方法强迫他人签订合同的，也可能构成犯罪。
二、法律建议与行动步骤
收集证据：
- 首先，需要收集所有与第三方索要钱财和签订调解书相关的证据，包括但不限于调解书本身、现场录音录像、证人证言、转账记录等。
- 这些证据将用于证明调解书是在被胁迫或欺诈的情况下签订的，以及第三方的违法行为。
向公安机关报案：
- 如果认为第三方的行为构成犯罪，可以向当地公安机关报案，并提供收集到的证据。
- 公安机关将依法进行调查，并根据调查结果决定是否对第三方采取刑事强制措施。
向人民法院提起诉讼：
- 如果认为调解书不具有法律效力，或者想要追回因第三方违法行为而损失的财产，可以向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，需要提交收集到的证据，并证明调解书是在被胁迫或欺诈的情况下签订的，以及第三方的违法行为给自己造成了损失。
- 人民法院将依法审理案件，并根据事实和法律规定作出判决。
三、可能的法律后果
调解书被撤销：
- 如果人民法院认定调解书是在被胁迫或欺诈的情况下签订的，那么该调解书将被撤销，双方之间的纠纷将恢复至签订调解书前的状态。
第三方受到刑事处罚：
- 如果第三方的行为构成犯罪，那么其将受到刑事处罚，包括有期徒刑、罚金等。
赔偿损失：
- 如果因第三方的违法行为给自己造成了损失，那么可以要求第三方进行赔偿。赔偿的范围将根据损失的具体情况而定，包括但不限于财产损失、精神损害赔偿等。
进一步思考：在处理此类纠纷时，除了考虑法律途径外，还可以考虑通过协商、调解等非诉讼方式解决。然而，如果第三方态度强硬、拒绝协商或调解，或者其行为已经构成犯罪，那么及时采取法律手段将是保护自己合法权益的有效途径。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。