结论：私企在员工合同到期后不能随意辞退员工，必须遵循《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定处理劳动关系，否则可能面临支付经济补偿或赔偿金等法律责任。以下是对此问题的详细分析：
一、合同到期后的处理规定
续签合同的情况：
- 若劳动者在用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，或已连续订立二次固定期限劳动合同，并且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，当劳动者提出或同意续订劳动合同时，除劳动者主动要求订立固定期限劳动合同外，应订立无固定期限劳动合同。此时，用人单位不得随意拒绝续签并辞退员工。
- 女职工在孕期、产期、哺乳期，或患病、非因工负伤且在规定医疗期内，其劳动合同应续延至相应情形消失时终止。
不续签需支付经济补偿：
- 即使不符合续签无固定期限劳动合同的条件，若用人单位决定不再续签劳动合同，也需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿金。具体计算公式为：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿）。
二、合法的解除劳动合同情形
根据《劳动合同法》第三十九条，用人单位可在以下情形下合法解除劳动合同，但这些情形并不适用于合同到期后随意辞退员工的情况，而是针对合同履行期间员工存在特定过错或行为时的处理：
- 员工试用期间被证明不符合录用条件；
- 严重违反用人单位规章制度；
- 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
- 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正；
- 因《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形导致劳动合同无效；
- 被依法追究刑事责任。
三、违法解除劳动合同的后果
若私营企业未按照上述法定情形解除劳动合同，即构成违法解除劳动关系，需承担以下后果：
- 根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位应按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。赔偿金计算公式为：赔偿金 = 2 × 经济补偿金 = 2 × 工作年限 × 月工资（经济补偿标准依据劳动者在单位工作的年限确定，每满一年支付两个月工资的赔偿金）。
四、实际建议与注意事项
用人单位建议：
- 在合同到期前与员工进行沟通，明确双方意愿，并依法履行续签或终止劳动合同的程序。
- 建立健全的规章制度，确保在解除劳动合同时有明确的法律依据，避免不必要的法律纠纷和经济损失。
劳动者注意事项：
- 若用人单位在合同到期后随意辞退且未支付经济补偿或赔偿金，劳动者有权向劳动争议仲裁机构或人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
- 在签订劳动合同时，应仔细阅读合同条款，了解自己的权利和义务，以便在发生争议时能够更好地维护自己的权益。
综上所述，私企在员工合同到期后应谨慎处理劳动关系，确保合规操作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。