追究交通事故的刑事责任，应当向公安机关交通管理部门提交相关材料，并由其进行初步调查后，根据情况决定是否移送检察机关审查起诉。以下是详细分析：
一、公安机关交通管理部门的角色与职责
在交通事故中，如果涉嫌构成犯罪（如交通肇事罪），首先应当由公安机关交通管理部门进行调查。这是根据《中华人民共和国道路交通安全法》以及《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定。公安机关交通管理部门在接到交通事故报警后，会迅速出警，进行现场勘查、调查取证等工作，以确定事故的责任和性质。
二、刑事责任的追究流程
初步调查：公安机关交通管理部门在初步调查后，如果认为事故涉嫌构成犯罪，会依法立案侦查。这一过程中，会收集相关证据，包括现场勘查记录、证人证言、监控录像等。
移送审查起诉：在侦查终结后，公安机关交通管理部门会将案件移送至检察机关（即人民检察院）进行审查起诉。检察机关会对案件进行全面审查，包括证据的充分性、犯罪事实的清晰度等，以决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。
法院审判：如果检察机关决定提起公诉，案件将进入法院审判阶段。法院会依法审理案件，并根据事实和法律作出判决。
三、提交材料与配合调查
在追究交通事故的刑事责任过程中，相关当事人（如事故受害者、目击者等）应当积极配合公安机关交通管理部门的调查工作，提供必要的证据和信息。同时，如果当事人认为事故涉嫌构成犯罪，也可以向公安机关交通管理部门报案，并提交相关证据材料。
四、注意事项
及时报案：在发生交通事故后，如果涉嫌构成犯罪，应当及时向公安机关交通管理部门报案，以便及时启动刑事责任追究程序。
保护现场：在事故发生后，应当尽量保护现场，避免证据被破坏或丢失。这有助于公安机关交通管理部门进行准确的现场勘查和调查取证。
配合调查：相关当事人应当积极配合公安机关交通管理部门的调查工作，如实提供证言和证据，不得隐瞒或歪曲事实。
法律咨询：在追究交通事故的刑事责任过程中，如果当事人对法律程序或相关法律规定有疑问，可以向专业律师（如我）进行咨询，以获取专业的法律意见和帮助。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。