结论：在顾客已经购买到过期食品且私下处理好的情况下，要确保顾客不追究责任，关键在于与顾客进行充分沟通、提供合理补偿，并确保后续不再发生类似问题。以下是从不同角度给出的具体分析和建议：

一、与顾客进行充分沟通

1. 表达歉意：首先，要向顾客表达诚挚的歉意，承认过期食品的销售是商家的失误，并表明商家对此事的重视。
2. 了解顾客需求：询问顾客对处理结果的满意度，以及是否有其他需求或期望。这有助于商家更好地了解顾客的想法，从而采取更合适的措施。
3. 解释处理过程：向顾客解释商家已经采取的措施，如检查库存、加强员工培训等，以防止类似问题再次发生。这可以增加顾客对商家的信任度。

二、提供合理补偿

1. 退款或换货：如果顾客要求，可以提供退款或换货服务，以弥补顾客因购买过期食品而遭受的损失。
2. 赠送礼品或优惠券：为了表达歉意和感谢顾客的理解，可以赠送一些小礼品或优惠券，作为对顾客的补偿。
3. 协商其他补偿方式：根据顾客的具体情况和需求，可以协商其他补偿方式，如提供免费服务、折扣等。

三、确保后续不再发生类似问题

1. 加强库存管理：定期检查库存，确保食品在保质期内销售。对于即将过期的食品，应及时进行促销或处理，避免过期销售。
2. 提高员工培训：加强员工对食品安全和保质期的培训，提高员工的意识和责任感。确保员工在销售过程中能够准确识别过期食品，并避免销售给顾客。
3. 建立反馈机制：建立顾客反馈机制，鼓励顾客在发现问题时及时向商家反馈。这有助于商家及时了解问题并采取措施，从而避免类似问题的再次发生。

四、法律角度的考量

1. 民事责任：根据《中华人民共和国食品安全法》等相关法律法规，商家销售过期食品可能构成违法行为，需要承担相应的民事责任。因此，商家应积极与顾客协商解决，以避免法律纠纷。
2. 行政处罚：如果商家销售过期食品的行为被相关部门查处，可能会面临行政处罚，如罚款、吊销许可证等。因此，商家应严格遵守相关法律法规，确保食品安全。
3. 声誉风险：销售过期食品还可能对商家的声誉造成负面影响，影响商家的长期发展。因此，商家应高度重视食品安全问题，积极采取措施加以解决。

建议：在处理此类问题时，商家应保持积极、诚恳的态度，与顾客进行充分沟通，并提供合理的补偿。同时，商家应加强内部管理，确保食品安全，以避免类似问题的再次发生。如果顾客仍然坚持追究责任，商家可以寻求法律途径解决，但在此之前应尽力通过协商达成和解。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。