针对您工作六年公司未签订劳动合同的情况，您确实有权依法维权并提起诉讼。以下是我为您详细梳理的法律依据、分析说明以及行动建议：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定：
- 第十条：建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
- 第十四条第三款：用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
- 第八十二条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
二、分析说明
未签劳动合同的法律后果：
- 用人单位未在法定期限内与您签订书面劳动合同，需承担支付双倍工资差额的责任。理论上，您可以主张自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日（共计11个月）的双倍工资。
- 若持续未签合同超过一年，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。但此前未签合同期间的双倍工资差额，您仍可通过法律途径主张，不过需注意仲裁时效的限制。
时效问题：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，对于超出一年仲裁时效部分的双倍工资主张，可能无法得到法律支持。建议您尽快行动，以免错过时效。
可主张的权益：
- 除了未签合同期间的双倍工资差额外，您还可以确认已形成无固定期限劳动合同关系后的合法权益保障，如要求补签书面合同、享受相应的劳动待遇等。
- 若用人单位存在违法解除劳动关系等情形，您还可按工作年限主张经济补偿。经济补偿标准为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。若用人单位违法解除劳动合同，则需按上述标准的二倍支付赔偿金。
- 用人单位未依法为您缴纳社保的，您有权要求补缴。因未缴纳社保导致您无法享受社保待遇而遭受损失的，您还可要求用人单位赔偿。
三、行动建议
收集证据：
- 工资支付记录（银行流水）、工作证、考勤表等能证明劳动关系的材料。
- 与公司沟通协商的录音、聊天记录等辅助证据。这些证据将有助于您在仲裁或诉讼中证明自己的主张。
法律程序：
- 向劳动监察部门投诉：您可以向当地劳动监察部门投诉，要求督促用人单位补签合同并补缴社保。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并保护您的合法权益。
- 申请劳动仲裁：若投诉无果或您希望直接通过法律途径解决争议，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，您需要提交相关证据并陈述自己的主张。仲裁委员会将根据事实和法律规定作出裁决。
- 提起诉讼：若对仲裁结果不服，您可在十五日内向法院提起诉讼。法院将依法审理案件并作出判决。在诉讼过程中，您可能需要聘请律师代理诉讼以更好地维护自己的权益。
咨询专业意见：
- 在整个维权过程中，建议您咨询当地的劳动监察部门或专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。他们可以根据您的具体情况为您提供针对性的指导并帮助您制定合适的维权策略。
希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。