针对您提出的“员工未申请签署无固定期限劳动合同，在劳动到期后不续签，该怎么补偿”的问题，这确实是一个涉及劳动法规定的复杂情况。以下是我根据相关法律法规，为您提供的详细解答：
一、核心原则
首先，我们需要明确的是，劳动合同到期不续签的补偿问题，主要取决于合同终止的原因以及双方的具体情况。这包括是否涉及用人单位的过错、劳动者的意愿以及是否符合签订无固定期限劳动合同的条件等。
二、具体分析
用人单位不续签的情况
- 如果用人单位在劳动合同到期后选择不续签，且没有维持或提高原有薪资待遇、工作岗位等条件，那么根据《劳动合同法》的规定，用人单位需要向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的标准是按照劳动者在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的“月工资”指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 如果劳动者的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，那么经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高支付年限不超过十二年。
劳动者不续签的情况
- 如果劳动者主动提出不续签劳动合同，且用人单位不存在《劳动合同法》第三十八条规定的过错情形（如未提供劳动保护、未及时支付劳动报酬等），那么用人单位通常无需支付经济补偿。
- 但是，如果用人单位存在法定过错，导致劳动者不愿续签劳动合同，那么用人单位仍然需要按照上述经济补偿标准支付补偿。
关于无固定期限劳动合同的特殊情况
- 如果劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年），并要求续签，而用人单位拒绝，那么用人单位的行为可能构成违法不续签。在这种情况下，用人单位除了需要支付经济补偿外，还可能面临额外的赔偿责任，通常赔偿金标准为经济补偿金的二倍。
- 然而，您提到的是“员工未申请签署无固定期限劳动合同”，这意味着劳动者并未主动提出签订无固定期限劳动合同的要求。因此，这一特殊情况可能并不直接适用。但值得注意的是，如果用人单位在劳动者符合签订无固定期限劳动合同条件的情况下，未主动提出续签无固定期限劳动合同，而是选择终止合同，这可能仍然涉及一定的法律风险。
三、建议与操作
- 双方协商：在面临劳动合同到期不续签的情况时，双方应首先尝试通过协商来解决问题。劳动者可以了解自己的权益，并收集相关证据以支持自己的主张；用人单位则应遵守相关法律法规，合理处理劳动合同续签事宜。
- 法律途径：如果双方无法协商一致，劳动者有权依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。在申请仲裁或提起诉讼时，务必准备好充分的证据材料以证明劳动关系及公司的行为。
四、总结
综上所述，员工未申请签署无固定期限劳动合同，在劳动到期后不续签的补偿问题，主要取决于合同终止的原因以及双方的具体情况。如果用人单位选择不续签且没有维持或提高原有条件，那么需要支付经济补偿；如果劳动者主动提出不续签且用人单位不存在过错，则通常无需补偿。在涉及无固定期限劳动合同的特殊情况时，双方应更加谨慎处理以避免法律风险。希望这些解答能对您有所帮助。