业主私自开挖国有土地上的山体属于违法行为，执法应遵循以下步骤和原则：

1. 确认违法事实与主体
   首先需通过现场勘查、卫星影像比对、规划图纸核对等方式，确认山体开挖行为是否超出合法用地范围（如宅基地、建设用地红线），是否破坏自然地貌或生态功能。同时明确责任主体，区分是业主个人行为还是开发商、施工单位等主体主导。

2. 行政执法程序

   • 自然资源部门介入：根据《土地管理法》第七十五条，县级以上自然资源主管部门可对“破坏耕地”或“非法占用土地”行为立案查处，责令停止开挖、限期恢复原状，并处以罚款（罚款标准为耕地开垦费的2-5倍，其他土地每平方米100-1000元）。
     
   • 林业/生态环境部门协同：若涉及林地（《森林法》第七十四条）或生态保护红线区域（《环境保护法》第六十八条），需由林业主管部门或生态环境部门联合执法，可能涉及更高额罚款或刑事责任。
     
   • 城乡规划部门核查：若开挖行为改变土地用途（如将山地改为建设用地），需依据《城乡规划法》第六十四条，由规划部门责令停止建设、限期拆除或没收实物。

3. 刑事责任追究
   若开挖行为导致“严重毁坏”后果（如山体滑坡、水土流失、生态功能丧失），可能触犯《刑法》第三百四十二条【非法占用农用地罪】或第三百三十八条【污染环境罪】。执法机关需将案件移送公安机关，由检察院提起公诉，责任人可能面临五年以下有期徒刑或拘役，并处或单处罚金。

4. 民事赔偿与生态修复

   • 民事索赔：受影响业主或政府可依据《民法典》第一千二百二十九条（环境污染和生态破坏责任），要求违法者承担修复费用或赔偿损失。
     
   • 生态修复强制执行：若违法者拒不履行恢复义务，法院可委托第三方机构代为修复，费用由违法者承担（《环境保护法》第六十五条）。

5. 执法难点与应对

   • 取证困难：山体开挖可能涉及隐蔽作业，需通过无人机航拍、土壤检测报告等固定证据。
     
   • 跨部门协调：需建立自然资源、林业、环保、公安等部门联合执法机制，避免职责推诿。
     
   • 后续监管：恢复原状后需定期复查，防止“复挖”行为，可要求违法者缴纳生态保证金。

建议：若您发现此类违法行为，可立即向当地自然资源局或12345市民热线举报，并保留现场照片、视频等证据。如涉及自身权益受损（如房屋安全受威胁），可同步向法院提起相邻权纠纷诉讼。具体操作可进一步向我咨询，我会结合您所在地区的法规细化方案。