破坏公共设施肇事后逃逸是一种严重的违法行为，其处罚涵盖了民事、行政及刑事多个法律层面。以下是对此类行为处罚方式的详细解答：

一、民事赔偿

破坏公共设施属于民事侵权行为，逃逸者需承担赔偿责任。这包括公共设施的修复或重置费用，以及因设施损坏导致的其他直接经济损失。公共设施的管理部门（如市政管理部门）有权要求逃逸者赔偿相关费用。若无法直接找到逃逸者，管理部门可通过报警等方式借助警方力量进行调查，确定责任人后要求其承担赔偿责任。

二、行政处罚

1. 罚款与拘留： 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第九十九条，造成交通事故（包括破坏公共设施导致的交通事故）后逃逸，尚不构成犯罪的，公安机关交通管理部门可对逃逸者处200元以上2000元以下罚款，并可并处15日以下拘留。

2. 吊销驾驶证： 同样依据该法第一百零一条，逃逸者还将面临吊销机动车驾驶证的处罚，且终生不得重新取得机动车驾驶证。

3. 驾驶证扣分： 逃逸行为还可能导致驾驶证被扣分，具体扣分情况依据当地交通法规执行，但通常这类严重违法行为会面临一次性扣满12分的处罚。

三、刑事处罚

1. 交通肇事罪： 若破坏公共设施的行为造成重大损失，达到交通肇事罪的立案标准，且逃逸者负事故全部或者主要责任，则可能面临刑事处罚。依据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役；交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。

2. 以危险方法危害公共安全罪： 在极端情况下，如果逃逸者的行为严重危害到不特定多数人的生命、健康和重大公私财产安全，还可能构成以危险方法危害公共安全罪。依照《中华人民共和国刑法》的相关规定，这种罪行的处罚将更为严厉，包括有期徒刑、无期徒刑甚至死刑。

四、其他注意事项

• 保险理赔影响：逃逸行为很可能导致保险公司部分或全部拒赔，从而增加行为人的经济负担。
• 社会影响：破坏公共设施逃逸不仅违法，还可能对交通设施的正常运行造成影响，增加二次事故的风险，对社会造成不良影响。

综上所述，破坏公共设施肇事后逃逸是严重的违法行为，行为人将面临民事赔偿、行政处罚乃至刑事处罚的法律后果。因此，我强烈建议驾驶人在发生此类事故后，无论后果大小，都应立即停车报警并配合调查处理，以减轻自身的法律责任并维护社会的安全与秩序。