当遇到租房合同到期而租客（即您所说的“老赖”）拒绝搬离的情况时，作为房东，您需要遵循一系列合法、有序的步骤来妥善处理这一问题。以下是我为您提供的详细指导建议：

一、优先尝试协商解决

1. 友好沟通：首先，我建议您与租客进行友好、耐心的沟通。了解他们不搬走的具体原因，可能是因为他们暂时找不到新的住所，或者对搬离有一些其他的顾虑。通过理解租客的实际情况，您可以与他们探讨可能的解决方案，比如给予一定的宽限期，或者协商新的租赁条件以续签合同。

2. 明确立场：如果租客有续租的意愿，您需要明确自己的立场。如果您愿意续租，那么双方应该重新签订租赁合同，明确新的租赁期限、租金等条款。如果您不愿意续租，那么您应该明确告知租客，并要求他们按照合同约定及时搬离。

二、发送正式书面通知

1. 催搬通知：如果协商没有结果，您应该向租客发出书面的《催搬通知》。这个通知需要明确指出租赁合同已经到期，要求租客在指定的合理期限内搬离房屋，并详细说明如果逾期不搬离将承担的法律后果。通知应该通过可靠的方式送达租客，比如当面递交、挂号信或快递，并保留好相关的送达凭证。

2. 律师函威慑：如果租客在收到催搬通知后仍然拒绝搬离，您可以考虑委托律师向租客发送律师函。律师函会从法律专业的角度阐述租客逾期不搬离的违法性质和可能面临的法律责任，对租客起到严肃的威慑作用。

三、寻求外部协助

1. 警方调解：您可以报警并向警方说明情况，请求警方介入调解。警方一般会以调解为主，对租客进行劝导，要求他们搬离。警方的介入可以在一定程度上给租客施加压力，促使他们配合解决问题。

2. 居委会调解：您还可以向所在社区的居委会反映情况，请求居委会工作人员出面调解。居委会作为基层群众自治组织，具有丰富的邻里纠纷调解经验和资源，能够协助双方达成和解。

四、考虑法律诉讼途径

1. 提起诉讼：如果通过上述方式都无法解决问题，您可以向人民法院提起民事诉讼。在起诉前，您需要准备好充分的证据材料，比如租赁合同、催搬通知、律师函、房屋产权证明等，以证明租赁关系的存在、租赁期限已届满以及您已尽到合理的通知义务等事实。

2. 申请财产保全：为了防止租客在诉讼期间转移或损坏房屋内的物品，您可以在诉讼过程中向法院申请财产保全。法院将根据您的申请，对租客存放在房屋内的物品采取查封、扣押或冻结等措施，以确保案件判决后能够顺利执行。

3. 强制执行：如果法院判决支持您的诉讼请求，但租客仍不履行判决，您可以在规定的时间内向法院申请强制执行。法院将派遣执行人员前往房屋所在地，强制租客搬离，并将房屋交还给您。同时，租客还可能需要承担强制执行费用以及因逾期搬离给您造成的损失赔偿责任。

五、注意事项

在整个处理过程中，您需要保持冷静和理性，避免采取过激行为或侵犯租客的合法权益。同时，您需要特别注意保留好所有相关证据，包括租赁合同、书面通知、律师函、邮寄凭证、聊天记录等，以便在需要时提供证明。此外，我还建议您咨询专业律师，了解自己的法律权益和可能的诉讼风险，确保自己的行动符合法律法规的要求。

希望这些建议能够帮助您妥善处理租房合同到期租客拒绝搬离的问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。