保险公司是否会起诉需分情况讨论，核心取决于法院判决不予追偿的具体理由及保险合同条款的约定。以下从法律逻辑和实务角度展开分析：

1. 若法院判决“不予追偿”基于保险合同条款无效或免责条款不成立

根据《保险法》第十七条，保险公司对免责条款（如肇事逃逸免赔）需尽到明确说明义务，否则该条款不生效。若法院认定保险公司未履行说明义务，判决其承担赔偿责任且“不予追偿”，此时保险公司通常不会起诉，因其再行主张追偿缺乏合同依据，且可能面临败诉风险。
实务建议：若您是肇事方，可重点审查保险合同中的免责条款是否以加粗、单独提示等方式明确说明，若未说明，可主张条款无效。

2. 若法院判决“不予追偿”基于受害方已获充分赔偿

若保险公司已垫付赔偿金，但受害方通过其他途径（如肇事方个人赔偿、社会救助等）获得重复补偿，法院可能依据《民法典》“损失填补原则”判决保险公司无需追偿。此时保险公司可能起诉肇事方，要求返还重复支付的赔偿款，但需以“不当得利”为案由，而非直接追偿。
实务建议：若您是肇事方，需保留受害方已获赔偿的证据（如收条、和解协议等），以应对保险公司可能的起诉。

3. 若法院判决“不予追偿”基于保险公司放弃追偿权

若保险公司与肇事方达成和解协议，明确放弃追偿权（如为快速结案），则保险公司无权再起诉。但需注意，若放弃追偿权损害第三方利益（如受害方未获足额赔偿），该协议可能被认定无效。
实务建议：若您是肇事方，务必要求保险公司出具书面放弃追偿权的声明，并明确赔偿范围，避免后续纠纷。

4. 保险公司起诉的例外情形：发现新证据或判决错误

若保险公司后续发现肇事方存在故意隐瞒（如酒驾、毒驾等未告知情形），或法院判决存在程序错误（如未追加必要共同诉讼人），保险公司可依据《民事诉讼法》申请再审或另行起诉，但需在知道或应当知道权利受损之日起6个月内提出。
实务建议：若您是肇事方，需如实向保险公司披露事故信息，避免因隐瞒导致保险合同被解除或追偿权恢复。

总结：保险公司是否起诉取决于法院判决的法律依据及合同履行情况。若判决已明确排除追偿权且无合法抗辩事由，保险公司通常不会起诉；反之，若存在程序瑕疵或新证据，保险公司可能通过再审或另诉主张权利。具体案件需结合保险合同、事故责任认定书、法院判决书等材料综合判断，如有疑问可进一步提供细节，我将为您详细分析。