当行政机关工作人员出现违法犯罪行为时，其处理方式需依据违法行为的性质及后果来具体确定，以下是对此问题的详细解答：
一、行政违法行为的处理与追责
行政复议与行政诉讼
- 定义与适用：若公民、法人或其他组织认为行政机关工作人员的具体行政行为侵犯了其合法权益，他们有权通过行政复议向相关行政机关申请审查与纠正，或者依法向人民法院提起行政诉讼，由法院进行审理并作出裁判。
- 期限规定：行政复议的申请期限通常为自知道具体行政行为之日起60日内（特殊情况除外）；行政诉讼的起诉期限则为自知道或应当知道行政行为之日起六个月内（法律另有规定的除外）。
行政赔偿
- 定义：若行政机关及其工作人员在违法行使职权过程中造成了损害，国家应承担相应的赔偿责任。
- 适用条件：必须是违法行为导致了公民、法人或其他组织的合法权益受损。
- 赔偿程序：赔偿请求人应首先向赔偿义务机关提出赔偿请求，也可以在申请行政复议或提起行政诉讼时一并提出。
行政处分与行政处罚
- 行政处分：对于违反法律、法规、规章的行政机关公务员，将依据《行政机关公务员处分条例》给予警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等处分。
- 行政处罚：针对行政机关及其工作人员的违法行为，还将依法实施相应的行政处罚。
二、刑事违法行为的处理
- 刑事责任：若行政机关工作人员触犯刑法，如滥用职权、玩忽职守等行为导致公共财产、国家和人民利益遭受重大损失，他们将依法承担刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能面临有期徒刑、拘役等刑罚。
- 具体情形：包括玩忽职守、不履行法定职责、违法行使职权等，如违规审批、收受贿赂等行为。
三、监督与改正机制
上级行政机关与监察机关的监督
- 上级行政机关监督：上级行政机关对下级行政机关的行政管理活动进行监督，确保行政行为的合法性与合理性。若发现违法行为，可通过责令改正、撤销违法行政行为等方式进行纠正。
- 监察机关监督：监察委员会对所有行使公权力的公职人员进行监察，调查职务违法和职务犯罪。若发现行政机关工作人员存在违纪违法行为，将接受举报、开展调查，并提出监察建议。
人民法院的监督与处理
- 移送处理：人民法院在审理行政案件过程中，若发现行政机关工作人员存在违纪或犯罪行为，将依据相关法律法规及司法程序，及时移送纪检监察机关或检察机关进行处理。
- 提出司法建议：人民法院还可通过制发司法建议书的方式，向相关行政机关提出改进建议，针对案件中暴露的行政管理漏洞、制度缺陷等问题进行整改。
回避制度
- 为确保案件公正处理，若办案人员与本案相关人员有特定关系或违反相关规定，应依法回避。
四、保障当事人权益
- 及时告知权利：在发现违纪违法线索后，法院应向案件当事人释明其享有的举报权、申诉权等法定救济途径。
- 防止次生损害：对因行政机关工作人员违纪行为导致当事人合法权益受损的，法院应在裁判文书中明确责任承担主体，并通过执行程序保障赔偿到位。
综上所述，对于行政机关工作人员的违法犯罪行为，我们将根据其性质及后果采取相应的法律措施进行追责与处理，并建立完善的监督与改正机制，以确保行政机关及其工作人员依法履行职责，维护公民的合法权益和社会的公平正义。