结论前置：劳动合同到期后未续签但劳动者继续工作，是否应支付双倍工资需根据具体情况判断。一般情况下，若用人单位未在法定期限内与劳动者续签书面劳动合同，劳动者有权要求支付双倍工资；但若存在特殊情况或劳动者自身原因导致未续签，则可能无法获得双倍工资。
一、可以获赔双倍工资的情况
首次固定期限劳动合同期满未续签：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。这一条款同样适用于劳动合同到期后未续签但劳动者继续工作的情形。
- 举例：小李的劳动合同于2023年12月31日到期，之后他继续在公司工作但未续签合同。那么，从2024年2月1日起（即合同期满后的第二个月），小李可以要求公司支付双倍工资，直至公司与其续签书面劳动合同或视为已订立无固定期限劳动合同（即满一年时）。
符合签订无固定期限劳动合同条件但未签订：
- 若劳动者满足签订无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年、连续订立二次固定期限劳动合同等），且用人单位不与劳动者订立无固定期限劳动合同，则自应当订立之日起，用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资。
二、不能获赔双倍工资的情况
未续签合同是因劳动者原因：
- 如果劳动者个人拒绝签订书面劳动合同，且用人单位已尽到合理的通知和协商义务，则用人单位无需支付双倍工资。
- 举例：公司向小张发出了续签劳动合同的通知，并提供了与原合同条件相同的续签合同，但小张因个人原因拒绝签订。在此情况下，公司无需支付双倍工资。
存在合理的未续签理由：
- 在特殊情况下（如不可抗力事件、人力资源部门重大失误等），若用人单位能及时补救并证明非恶意不续签，司法机关可能不会支持劳动者的双倍工资诉求。
已过仲裁时效：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。若劳动者在知道用人单位未续签劳动合同后超过一年才申请仲裁，可能会因超过时效而无法获得支持。
视为签订无固定期限劳动合同：
- 若用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，则视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。此时，劳动者不能再要求用人单位支付双倍工资，而应按照原约定或法律规定支付工资。
三、法律建议与注意事项
对于劳动者：
- 及时关注劳动合同的到期时间，并在合同到期前与用人单位沟通续签事宜。
- 若用人单位未及时续签但劳动者继续工作，应保留好相关证据（如考勤记录、工资条、工作邮件等），以备不时之需。
- 在知道用人单位未续签劳动合同后，及时行使自己的权利，避免超过仲裁时效。
对于用人单位：
- 加强人力资源管理，确保及时与劳动者签订和续签劳动合同。
- 若因特殊原因无法及时续签，应及时与劳动者沟通并说明情况，避免产生不必要的法律纠纷。
- 保留好续签通知、协商记录等证据，以证明自己已尽到合理的通知和协商义务。
总结：劳动合同到期后未续签但劳动者继续工作，是否应支付双倍工资需根据具体情况判断。劳动者在维护自身权益时，应充分了解相关法律规定，并在必要时寻求专业法律帮助。同时，用人单位也应加强人力资源管理，确保及时与劳动者签订和续签劳动合同，以避免不必要的法律风险和经济损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。