结论：伤残鉴定为四级且孩子未成年时，确实有供养抚恤金。以下从法律背景、供养亲属范围、抚恤金计算及申请流程等角度进行详细说明。

1. 法律背景

根据《工伤保险条例》第三十七条，职工因工致残被鉴定为一级至四级伤残的，保留劳动关系，退出工作岗位，并享受以下待遇：

• 从工伤保险基金按月支付伤残津贴（四级伤残为本人工资的75%）；
• 由工伤保险基金按月支付供养亲属抚恤金，标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或孤儿在此基础上增加10%。抚恤金总额不得超过职工生前工资总额。

关键点：供养亲属抚恤金是法定待遇，与伤残等级直接相关，四级伤残属于支付范围。

2. 供养亲属范围

根据《因工死亡职工供养亲属范围规定》，供养亲属包括：

• 配偶、子女、父母、祖父母、外祖父母、孙子女、外孙子女、兄弟姐妹；
• 子女未满18周岁（或完全丧失劳动能力）的，属于供养亲属范围。

举例：若职工因工四级伤残，其未成年子女（如15岁）无劳动能力且依靠职工收入生活，即可申请供养抚恤金。

3. 抚恤金计算方式

供养亲属抚恤金按以下公式计算：

**抚恤金 = 职工生前工资 × 供养比例 × 供养人数**

• 供养比例：子女为30%（若职工配偶同时供养，配偶比例为40%，子女仍为30%，但总额不超过工资总额）；
• 供养人数：多名供养亲属时，需按比例分配，但总额不超过职工生前工资。

示例：职工生前工资为5000元/月，仅1名未成年子女供养，则抚恤金为：

5000元 × 30% = 1500元/月

4. 申请流程与材料

• 申请主体：由供养亲属或职工单位向工伤保险基金申请；
• 所需材料：
  1. 工伤认定决定书、劳动能力鉴定结论书；
  2. 供养亲属身份证明（如户口本、出生证明）；
  3. 亲属关系证明（如派出所出具的亲属关系证明）；
  4. 供养亲属无收入来源证明（如学校出具的在校证明、社区出具的无业证明）。

5. 注意事项

• 抚恤金调整：根据当地政策，抚恤金可能随职工工资或物价水平调整；
• 停止支付情形：子女年满18周岁且未完全丧失劳动能力，或开始领取养老金时，抚恤金停止支付；
• 争议解决：若对抚恤金标准或资格有争议，可申请劳动仲裁或提起诉讼。

6. 延伸建议

• 及时申请：供养亲属抚恤金需主动申请，逾期可能影响待遇领取；
• 保留证据：建议保存工资流水、亲属关系证明等材料，以备后续核查；
• 定期复核：供养亲属情况变化（如子女成年）时，需及时报告社保部门调整待遇。

如有其他疑问或需进一步协助，可直接向我咨询，我将结合具体案情为您提供专业建议。