被废标的供应商确实有权质疑中标供应商。以下是对这一问题的详细分析：

一、法律依据与主体资格

根据《中华人民共和国政府采购法》第五十二条，供应商认为采购文件、采购过程和中标、成交结果使自己的权益受到损害的，有权在知道或者应知其权益受到损害之日起七个工作日内，以书面形式向采购人提出质疑。被废标的供应商，作为采购活动的直接参与者，若认为废标决定或中标结果损害了其合法权益，完全具备提出质疑的主体资格。

二、质疑的提出条件

被废标的供应商在提出质疑时，需满足以下条件：

1. 有合理的理由和证据，认为废标决定或中标结果不合理，如废标依据的事实不存在、废标理由不成立、废标或中标过程存在违规操作等。
2. 在规定的时限内提出质疑，即知道或者应知其权益受到损害之日起七个工作日内（或按照相关法规的最新规定时限）。
3. 提供明确的请求和必要的证明材料，以支持其质疑的合理性。

三、质疑的处理流程

采购人在收到质疑后，应按照规定的程序和时间进行审查，并给予答复。处理期间，相关采购活动通常应暂停，以确保质疑处理的公正性和有效性。若质疑成立，采购人应采取相应的纠正措施；若质疑不成立，应给予合理解释。

四、注意事项

1. 被废标的供应商在提出质疑时，应确保质疑内容的真实性和合理性，避免恶意质疑或滥用质疑权利。
2. 若对采购人的答复不满，或异议未得到及时解决，被废标的供应商有权向有关行政监督部门进一步投诉。

综上所述，被废标的供应商在符合法定条件和期限内，完全有权对中标供应商提出质疑，以维护自身合法权益。在提出质疑时，应确保质疑内容的合理性和证据的真实性，并按照规定的程序和时间进行。若质疑未得到满意解决，还可向有关行政监督部门进一步投诉。