结论：跟公司签署的合同到期后，能否索要赔偿取决于合同类型、合同内容以及合同到期时的具体情况。以下分情况详细说明：

1. 劳动合同到期：

   • 若公司维持或提高原劳动合同条件续订，员工拒绝：在此情况下，员工通常不能索要经济补偿。因为公司已经提供了与原合同相当或更好的条件，员工拒绝续订属于个人选择。
   • 若公司降低原劳动合同条件续订，员工拒绝：或者公司不续订劳动合同，员工有权要求公司支付经济补偿。经济补偿的计算方式通常按照员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。这里所称月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 若员工主动提出不续订：则员工通常无权要求公司支付经济补偿，因为这是员工主动放弃续订合同的权利。

2. 劳务合同到期：

   • 劳务合同与劳动合同的区别：劳务合同通常不属于《劳动合同法》的调整范围，而是受《民法典》等民事法律的调整。因此，劳务合同到期后的处理方式可能与劳动合同有所不同。
   • 合同内容约定：劳务合同到期后能否索要赔偿，主要取决于劳务合同中的具体约定。如果合同中明确约定了到期后的赔偿条款，如违约金、赔偿金等，那么双方应按照合同约定执行。
   • 无约定时的处理：如果劳务合同中没有明确约定到期后的赔偿条款，那么通常情况下，合同到期自然终止，双方无需支付赔偿。但是，如果因一方违约导致合同提前终止或无法继续履行，违约方可能需要承担相应的违约责任。

法律建议：

• 在签署任何合同前，务必仔细阅读合同条款，特别是关于合同到期、续订、终止以及赔偿等方面的约定。
• 如果对合同条款有疑问或不确定的地方，建议咨询专业律师或法律顾问，以确保自己的权益得到充分保障。
• 合同到期后，如果与公司就赔偿问题产生争议，可以尝试通过协商、调解等方式解决。如果无法达成一致意见，可以考虑通过法律途径解决争议。

可能法律后果：

• 如果公司违反合同约定或法律规定，未支付应支付的经济补偿或赔偿金，员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，要求公司支付相应的款项。
• 如果员工在合同到期后无理要求公司支付赔偿金或采取其他不当行为，公司有权拒绝支付并可能追究员工的法律责任。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。