结论：老师打学生致学生患抑郁症，在已经给予补偿的情况下，学校是否可以辞退该老师，需根据具体情况判断，不能一概而论地说学校可以直接辞退，但若老师的行为符合法定辞退情形，学校有权依法辞退。以下从不同角度进行分析：
一、法定辞退情形
根据《中华人民共和国教师法》第三十七条，教师有下列情形之一的，由所在学校、其他教育机构或者教育行政部门给予行政处分或者解聘：
故意不完成教育教学任务给教育教学工作造成损失的：若老师因打学生等行为导致无法正常履行教育教学职责，且给教育教学工作造成了实际损失，学校有权考虑辞退。
体罚学生，经教育不改的：老师打学生属于体罚学生的行为，如果学校已经对其进行教育，但老师仍然不改，继续实施体罚行为，学校有权依据此条款辞退老师。
品行不良、侮辱学生，影响恶劣的：老师打学生的行为若被认定为品行不良，且对学生造成了恶劣影响，如导致学生患抑郁症等严重后果，学校也有权辞退。
二、医疗期与工作能力评估
医疗期保护：如果老师因打学生事件导致自身也受到一定伤害（虽然这种情况较为少见，但理论上存在），或者因其他原因患病，且处于医疗期内，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，学校不得依据该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。但这一保护并不适用于老师因体罚学生等严重违反职业道德的行为而被辞退的情况。
工作能力评估：若老师因打学生事件导致心理或身体问题，影响其正常履行教学职责，学校应首先评估其工作能力。如果老师确实无法继续从事教学工作，且经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任，学校可以依据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，提前三十日以书面形式通知老师本人或额外支付一个月工资后解除劳动合同，但需支付经济补偿。然而，在老师打学生致学生患抑郁症的严重情况下，这一流程可能因老师的严重违纪行为而加速或简化。
三、学校责任与师德师风
学校责任：学校作为教育机构，有责任维护学生的身心健康和安全。老师打学生致学生患抑郁症，学校不仅需要对受害学生进行补偿，还需要对涉事老师进行严肃处理，以维护学校的正常教学秩序和师德师风。
师德师风：老师作为教育工作者，应具备良好的职业道德和师德师风。打学生等体罚行为严重违反了教师的职业道德规范，损害了教师的形象和声誉。学校在处理此类事件时，应充分考虑师德师风的要求，对涉事老师进行严肃处理。
四、实际操作建议
调查取证：学校在处理此类事件时，应首先进行调查取证，了解事情的真实情况和经过。这包括收集相关证据、询问涉事老师和学生、查看监控录像等。
依法处理：根据调查结果和相关法律法规，学校应依法对涉事老师进行处理。如果老师的打学生行为构成违法或严重违反职业道德规范，学校应考虑辞退或给予其他严肃处分。
关注受害学生：在处理涉事老师的同时，学校还应关注受害学生的身心健康和安全。提供必要的心理辅导和支持，帮助学生尽快走出阴影，恢复正常的学习和生活。
总结来说，老师打学生致学生患抑郁症，在已经给予补偿的情况下，学校是否可以辞退该老师需根据具体情况判断。如果老师的打学生行为符合法定辞退情形，且经过调查取证和依法处理程序，学校有权依法辞退。如有更多细节或疑问，可以直接向我咨询。