试用期第一个月没签合同不交社保是不合法的。以下是对这一问题的详细分析：
一、关于试用期签订劳动合同的法律要求
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。试用期作为劳动关系的一部分，也包含在这一规定之内。
法律责任：
- 如果用人单位未在试用期内与劳动者签订书面劳动合同，将可能面临支付双倍工资等法律责任。具体来说，自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，用人单位应当向劳动者每月支付二倍的工资。
二、关于试用期缴纳社保的法律义务
法律依据：
- 社会保险是劳动合同的必备条款，一旦劳动关系建立，用人单位就应当依法为劳动者缴纳社会保险费。这一规定同样适用于试用期内的员工。
- 《中华人民共和国社会保险法》第五十八条规定：“用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。”这意味着，从员工入职的第一天起，无论是否在试用期内，用人单位都必须在规定的期限内为员工办理社保登记并缴纳社保费用。
法律后果：
- 用人单位在试用期内未依法为劳动者缴纳社保的，不仅损害了劳动者的合法权益，还可能面临严重的法律后果。这包括但不限于被责令限期改正、处以罚款等行政处罚，以及劳动者要求补缴社保的请求。
三、劳动者的权益保护
维权途径：
- 如果劳动者在试用期内遇到用人单位不签劳动合同或不交社保的情况，可以向当地劳动监察部门投诉，寻求法律援助，或者通过其他合法途径维护自己的权益。
法律支持：
- 劳动者在维权过程中，可以依据《中华人民共和国劳动合同法》、《中华人民共和国社会保险法》等相关法律法规，要求用人单位承担相应的法律责任，并赔偿因此造成的损失。
总结：试用期第一个月，用人单位必须与劳动者签订书面劳动合同，并依法为其缴纳社保。这是法律的强制性要求，也是保障劳动者合法权益的重要举措。用人单位应严格遵守相关法律法规，确保试用期员工的劳动合同和社保权益得到充分保障。如果劳动者遇到相关问题，应积极维权，保护自己的合法权益。