结论前置：针对您未签订劳动合同但请假不被批准的情况，首先需要明确的是，即使未签订书面劳动合同，您与用人单位之间依然存在事实劳动关系，您依然享有休息休假的权利。若用人单位无正当理由不批准您的合理请假申请，可能构成对劳动者权益的侵害。以下是从不同角度为您详细分析：
法律角度：
- 休息休假权利：根据《中华人民共和国劳动法》第三条，劳动者享有休息休假的权利。这一权利不因未签订书面劳动合同而丧失。因此，您有权在合理范围内申请请假。
- 用人单位的义务：根据《中华人民共和国劳动法》第四条，用人单位应当依法建立和完善规章制度，保障劳动者享有劳动权利和履行劳动义务。若用人单位的规章制度违反法律法规，劳动行政部门有权责令改正，并给予警告；给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。
- 未签劳动合同的影响：虽然未签订书面劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。因此，您依然享有劳动合同法所规定的各项权利，包括请假权。
实际操作角度：
- 积极沟通：首先，建议您与用人单位进行积极沟通，明确请假原因和时间，并提供合理证明（如医疗证明、家庭紧急事务证明等）。通过沟通，尝试达成共识，使请假申请得到批准。
- 保留证据：在沟通过程中，务必保留好相关证据，如请假申请、聊天记录、邮件等。这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。
- 投诉或寻求法律援助：若用人单位无理拒绝审批您的请假申请，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者寻求法律援助。劳动监察部门将依法对用人单位进行调查处理，维护您的合法权益。
特殊情况处理：
- 若您处于离职阶段：即使您已提出离职申请，但在离职手续办理完毕前，您依然是公司员工，依法享有休息休假的权利。用人单位无正当理由不批准请假，同样构成对劳动者权益的侵害。
- 若涉及带薪年休假：根据《职工带薪年休假条例》，连续工作一年以上的职工享受带薪年休假。若您符合条件且处于离职阶段，仍有权申请年假，单位应予批准。若不能安排，应经您同意并按日工资收入的300%支付未休年休假工资报酬。
建议与提醒：
- 在处理此类问题时，请务必保持冷静和理性，避免与用人单位发生不必要的冲突。
- 如有需要，您可以随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。
- 请记住，维护自己的合法权益是您的权利，也是法律赋予您的保障。不要因为担心或顾虑而放弃自己的权益。