被抓当天就能使用自己的私人手机打电话通知家属，这一行为本身并不能直接判断所犯事情的严重程度。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

1. 法律程序与权利保障：

   • 在刑事案件中，犯罪嫌疑人被拘留或逮捕后，其基本权利，包括与家属的联系权，是受到法律保护的。使用私人手机通知家属，可能是警方在遵循法定程序的同时，对犯罪嫌疑人基本权利的尊重。但这并不直接反映案件的严重性。
   • 警方可能根据案件的具体情况，如犯罪嫌疑人的态度、案件的性质等，来决定是否允许其使用私人手机。但这同样不是判断案件严重性的直接依据。

2. 案件严重性的判断因素：

   • 案件的严重性通常与犯罪的性质、情节、后果以及犯罪嫌疑人的主观恶性等因素有关。例如，涉及暴力、毒品、贪污受贿等严重犯罪的案件，往往被视为严重案件。
   • 犯罪嫌疑人的前科记录、是否认罪认罚、是否有悔罪表现等，也是判断案件严重性的重要因素。

3. 使用私人手机通知家属的可能情况：

   • 在某些情况下，警方可能认为允许犯罪嫌疑人使用私人手机通知家属，有助于稳定其情绪，配合调查，从而更有利于案件的侦破和处理。
   • 另一方面，如果案件涉及国家安全、恐怖活动等严重犯罪，或者犯罪嫌疑人存在逃跑、毁灭证据等风险，警方可能会限制其与外界的联系，包括使用私人手机。

4. 后续法律程序的影响：

   • 无论犯罪嫌疑人是否能在被抓当天使用私人手机通知家属，这都不会影响后续的法律程序。案件的严重性、犯罪嫌疑人的罪责等，都将通过司法程序进行公正、客观的评判。
   • 犯罪嫌疑人应积极配合警方的调查，如实陈述事实，争取从轻或减轻处罚的机会。

建议：

• 如果您或您身边的人遇到类似情况，不要仅凭能否使用私人手机通知家属来判断案件的严重性。应保持冷静，积极配合警方的调查，并寻求专业律师的帮助。
• 律师将根据案件的具体情况，为您提供专业的法律意见和辩护策略，帮助您维护合法权益。

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