关于退给对方公司的仲裁费对方是否会开发票的问题，这主要取决于双方的具体约定以及相关法律法规的规定，以下分情况讨论：
双方有明确约定：
- 如果双方在合同或者仲裁协议中明确约定了仲裁费的退还方式以及是否需要开具发票，那么应当按照约定执行。例如，如果约定仲裁费退还时对方需要开具发票，那么对方就有义务开具相应的发票。
双方无明确约定：
- 在没有明确约定的情况下，我们需要参考相关法律法规的规定。一般来说，仲裁费属于服务费用的一种，根据《中华人民共和国发票管理办法》的规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。因此，如果仲裁费被视为一种服务费用，且对方公司作为收款方，在收到退还的仲裁费时，理论上应当开具发票。
- 但实际操作中，是否开具发票还可能受到其他因素的影响，如双方的关系、交易习惯、税务政策等。例如，如果双方长期合作且关系良好，可能出于简化流程、提高效率的考虑，而不严格要求开具发票。或者，在某些特定情况下，税务政策可能允许或要求不开具发票。
实际操作建议：
- 为了避免潜在的纠纷和税务风险，建议在退还仲裁费时，双方明确约定是否需要开具发票，并在实际操作中按照约定执行。
- 如果对方公司拒绝开具发票，您可以要求其提供合理的解释，并考虑咨询当地税务机关或专业律师以获取更具体的法律建议。
总结来说，退给对方公司的仲裁费对方是否会开发票，取决于双方的具体约定以及相关法律法规的规定。在没有明确约定的情况下，理论上对方应当开具发票，但实际操作中可能受到多种因素的影响。因此，建议双方在退还仲裁费时明确约定是否需要开具发票，并按照约定执行。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。