结论：针对您描述的情况，员工未签合同且月底准备离职，单位可能面临未签合同的双倍工资风险，同时需根据员工离职的具体情况处理离职手续和工资结算。以下从多个角度为您详细分析：
一、未签合同的双倍工资风险
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
风险分析：
- 如果员工已经工作超过一个月且未签合同，单位将面临支付双倍工资的风险。这意味着，除了正常支付员工工资外，单位还需额外支付一倍的工资作为赔偿。
- 员工离职时，如果提出未签合同的双倍工资诉求，单位可能需要承担相应的法律责任。
建议措施：
- 尽快与员工协商签订书面劳动合同，以避免双倍工资的风险。
- 如果员工拒绝签订，单位应考虑是否继续留用该员工，或者依法解除劳动关系，并做好相关证据留存工作，如书面通知员工签订合同、员工拒绝签订的书面记录等。
二、员工离职的处理
离职流程：
- 员工提出离职后，单位应要求员工填写离职申请表，明确离职原因、离职日期等关键信息。
- 单位应安排相关人员与员工进行离职面谈，了解员工离职的真实原因，以便改进单位的管理和工作环境。
- 员工离职时，单位应结算员工工资、奖金、福利等所有应得款项，并办理离职手续，如退还工作证、办公用品等。
工资结算：
- 根据《工资支付暂行规定》第九条：“劳动关系双方依法解除或终止劳动合同时，用人单位应在解除或终止劳动合同时一次付清劳动者工资。”
- 单位应在员工离职时一次性付清所有工资，不得拖欠或克扣。
特殊情况处理：
- 如果员工离职时未提前通知单位，或者违反单位规章制度导致离职，单位可以根据相关规定扣除部分工资或要求员工承担相应责任。但需注意，扣除工资的部分不得超过员工当月工资的20%，且扣除后剩余工资不得低于当地最低工资标准。
三、法律后果与预防措施
法律后果：
- 如果单位未依法与员工签订书面劳动合同，将面临劳动行政部门的处罚，如罚款等。
- 员工离职后，如果提起劳动仲裁或诉讼，单位可能因未签合同而承担双倍工资、经济补偿金等额外赔偿责任。
预防措施：
- 单位应建立健全劳动合同管理制度，确保所有员工入职后及时签订书面劳动合同。
- 定期对劳动合同进行审查和更新，确保合同内容符合法律法规要求。
- 加强员工法律意识培训，让员工了解签订劳动合同的重要性以及未签合同的法律后果。
总结与建议：针对您描述的情况，我建议您尽快与员工协商签订书面劳动合同，以避免双倍工资的风险。同时，做好员工离职的准备工作，确保离职流程合规、工资结算清晰。如果您在处理过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。