结论：在私人幼儿园后厨上班做饭时手受伤缝针，如果符合工伤认定的条件，那么可以认定为工伤。以下从多个角度为您详细分析：

一、工伤认定的基本条件

根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤认定主要基于以下几个条件：

1. 工作时间：事故伤害应当发生在工作时间之内。在您的情况下，如果是在正常的工作时间内，于后厨做饭时受伤，那么满足工作时间这一条件。
2. 工作场所：事故伤害应当发生在工作场所内。私人幼儿园的后厨，作为您的工作地点，显然属于工作场所的范畴。
3. 工作原因：事故伤害应当因工作原因而发生。您是在做饭这一工作过程中受伤的，因此满足工作原因这一条件。

二、工伤认定的具体流程

1. 及时报告：在发生事故伤害后，您或您的同事应当及时向幼儿园的管理人员报告，并尽快前往医疗机构进行治疗。
2. 申请工伤认定：根据《工伤保险条例》的规定，用人单位（即私人幼儿园）应当在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果用人单位未按时提出申请，您或您的近亲属、工会组织可以在事故伤害发生之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
3. 提供相关材料：在申请工伤认定时，您需要提供相关的证明材料，如医疗证明、事故报告、证人证言等，以证明事故伤害的发生经过和原因。
4. 等待认定结果：社会保险行政部门在收到工伤认定申请后，会进行调查核实，并在一定期限内作出工伤认定的决定。如果认定为工伤，您将享受相应的工伤保险待遇。

三、可能遇到的特殊情况及建议

1. 如果幼儿园未为您缴纳工伤保险：根据《工伤保险条例》的规定，如果用人单位未依法缴纳工伤保险费，发生工伤事故的，由用人单位支付工伤保险待遇。因此，如果幼儿园未为您缴纳工伤保险，您仍然有权要求幼儿园承担相应的赔偿责任。
2. 如果幼儿园拒绝认定工伤或拒绝赔偿：在这种情况下，您可以向当地的社会保险行政部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。同时，您也可以咨询专业律师，了解具体的法律途径和维权策略。

四、后续行动建议

1. 保留证据：请务必保留好所有与事故伤害相关的证据，如医疗记录、事故报告、证人证言等。这些证据将在后续的工伤认定和赔偿过程中发挥重要作用。
2. 及时咨询：如果您对工伤认定的流程或赔偿标准有任何疑问，或者遇到了任何困难，请及时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。

总之，如果您在私人幼儿园后厨上班做饭时手受伤缝针，且符合工伤认定的条件，那么您有权要求认定为工伤并享受相应的工伤保险待遇。如有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。