当您遇到租房子住了一个月房东不提押金且没有签订合同的情况时，可以从以下几个方面来处理：

一、收集证据以证明租赁关系和押金事实

1. 收集能证明租赁关系的证据：

   • 聊天记录：检查与房东的微信、短信等聊天记录，特别是那些包含关于租房事宜的讨论，如入住时间、租金金额、房屋设施等内容的对话，这些都可以作为租赁关系存在的间接证据。
   • 支付记录：整理通过银行转账、支付宝、微信等方式向房东支付租金和押金的记录。这些支付记录应清晰显示付款时间、金额以及收款方信息，特别是备注栏中写有“房租押金”等字样的记录，将更具说服力。
   • 证人证言：如果有邻居、小区物业工作人员或其他了解租房情况的人员，他们的证言也可以作为辅助证据。例如，邻居可以证明您确实在该房屋内居住了一段时间。

2. 证明押金事实：

   • 收据或收条：尽管没有书面合同，但如果房东开具了收取押金的收据或收条，这将是最直接有力的证据。请务必保存好这些收据或收条，并确保上面明确写明了收到押金的金额、日期等信息。
   • 录音录像：在与房东沟通退还押金的过程中，您可以考虑进行录音或录像。但请注意，录音录像必须合法合规，不能采用窃听等非法手段。同时，要确保内容清晰、完整，能够准确反映双方的交流内容和关键信息。

二、与房东协商解决

1. 友好沟通：尝试与房东进行友好、诚恳的沟通，了解其不退押金的具体原因。也许存在一些误会或者问题可以通过协商解决。例如，可能是因为房屋设施有一些损坏，但您并不知情，通过与房东沟通，您可以及时了解情况并协商解决方案。

2. 提出合理方案：根据实际情况，您可以提出一些合理的解决方案。比如，如果是因为房屋清洁问题导致押金被扣，您可以主动提出承担部分清洁费用，以换取房东退还剩余押金。

三、向相关部门投诉或寻求调解

1. 向当地居委会或街道办事处求助：居委会或街道办事处通常会设有调解部门，他们可以帮助您与房东进行沟通协商，促使双方达成和解。您可以向他们详细说明情况，并提供相关证据，请求他们协助调解。

2. 向住房保障和房产管理部门投诉：这些部门负责监管房屋租赁市场，对于房东的不当行为有权进行处理。您可以向他们详细说明情况，提供相关证据，请求他们对房东进行调查和处理。

四、通过法律途径解决

1. 申请仲裁（如有约定）：如果在其他相关协议或约定中有明确的仲裁条款，您可以根据该条款向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁机构会根据双方提供的证据和相关法律法规进行裁决。

2. 提起诉讼：如果没有仲裁约定，您可以向法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要提交充分的证据证明租赁关系和押金事实，以及房东不退押金的行为构成违约。法院将根据法律规定和事实情况进行判决。如果法院判决您胜诉，而房东仍然不履行退款义务，您可以申请强制执行。

希望以上建议能够帮助您解决问题。在处理此类纠纷时，请务必保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。