结论：在上班途中乘坐私家车，若司机全责、乘客无责的情况下，单位是否赔偿乘客，主要取决于乘客与单位之间是否存在劳动关系以及是否构成工伤，同时，乘客也有权向全责司机主张侵权赔偿。以下从不同角度详细分析：
一、工伤赔偿角度
构成工伤的情形：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。
- 在您描述的情形中，乘客在上班途中乘坐私家车，且司机全责、乘客无责，这符合“非本人主要责任”的条件，因此有可能构成工伤。
工伤赔偿流程：
- 若构成工伤，乘客应首先向单位报告事故情况，并要求单位在规定时间内（一般为30日内）向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 若单位未按时提出申请，乘客或其近亲属、工会组织也可以在事故伤害发生之日起1年内，直接向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 工伤认定后，乘客可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用、康复费用、停工留薪期工资、伤残津贴等。
单位不赔偿的处理：
- 若单位未依法为乘客缴纳工伤保险费，发生工伤事故的，由单位支付工伤保险待遇。
- 若单位不支付，乘客可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
二、侵权赔偿角度
侵权赔偿的依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
- 在您描述的情形中，司机全责导致乘客受伤，司机存在过错，因此乘客有权向司机主张侵权赔偿。
侵权赔偿的范围：
- 侵权赔偿的范围包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
- 若造成残疾的，还可以主张残疾赔偿金、辅助器具费、残疾生活护理费等；若造成死亡的，还可以主张丧葬费、死亡赔偿金等。
侵权赔偿与工伤赔偿的竞合：
- 在乘客同时构成工伤和受到侵权的情况下，乘客可以同时享受工伤保险待遇和向全责司机主张侵权赔偿。
- 但需要注意的是，医疗费等实际发生的费用一般不能重复获得赔偿，即乘客在获得工伤保险待遇中的医疗费用赔偿后，不能再向司机主张医疗费用的赔偿。
三、特殊情况考虑
- 乘客与单位的关系：若乘客与单位之间不存在劳动关系（如临时用工、劳务关系等），则不适用工伤保险条例的规定，乘客无法享受工伤保险待遇。但此时乘客仍可以向全责司机主张侵权赔偿。
- 司机与单位的关系：若司机是单位员工且在执行工作任务时造成乘客受伤，则根据《中华人民共和国民法典》的规定，由单位承担侵权责任。此时乘客可以向单位主张侵权赔偿，同时若构成工伤，还可以享受工伤保险待遇。
建议：
- 若您或您身边的人遇到类似情况，建议首先收集并保存好相关证据（如交通事故认定书、医疗记录、工资单等），以便后续维权使用。
- 及时向单位报告事故情况，并要求单位按照工伤保险条例的规定处理工伤认定和赔偿事宜。
- 若单位不配合或处理不当，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
- 同时，也可以考虑向全责司机主张侵权赔偿，以维护自己的合法权益。
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