结论：事业单位产假休完后能否提前走一小时，需结合单位规章制度、劳动合同约定以及地方性法规综合判断，以下分情况说明：

1. 单位规章制度与劳动合同的约定

• 若单位规章制度或劳动合同中明确规定了哺乳期女职工的弹性工作时间（如提前1小时下班），且该制度经过民主程序制定并公示，您有权依据规定享受该待遇。
• 若制度未明确规定，但单位实际执行中允许哺乳期女职工弹性工作时间，您可与单位协商，争取书面确认或补充协议。
• 法律依据：根据《女职工劳动保护特别规定》第九条，对哺乳未满1周岁婴儿的女职工，用人单位不得延长劳动时间或安排夜班劳动，并应在每天劳动时间内安排1小时哺乳时间。若单位未安排哺乳时间，您可主张调整工作时间或补偿。

2. 地方性法规的补充规定

• 部分地区（如北京、上海、广东等）在《女职工劳动保护特别规定》基础上，进一步细化了哺乳期女职工的权益，例如：
  • 北京：女职工哺乳期内，单位可安排每天1小时哺乳时间，或合并使用、累计休假；
  • 上海：女职工可申请每天1小时哺乳假，或按30%工资标准申请延长哺乳假至婴儿1周岁；
  • 广东：女职工可申请每天1小时哺乳时间，或按本人工资80%申请延长哺乳假至婴儿1周岁。
• 建议：查询您所在省份的具体规定，若地方性法规支持弹性工作时间，可向单位提出申请。

3. 与单位协商的灵活性

• 若单位无明确规定且地方性法规未强制要求，您仍可与单位协商，说明哺乳期照顾婴儿的实际需求（如哺乳、接送等），争取单位的理解与支持。
• 协商要点：
  • 提出书面申请，明确提前下班的时间、原因及补偿方案（如补足工作时间或调整工作任务）；
  • 承诺不影响工作质量，例如通过远程办公、加班补足等方式平衡；
  • 引用《女职工劳动保护特别规定》及地方性法规，增强协商合理性。

4. 单位拒绝的应对措施

• 若单位无正当理由拒绝，您可：
  • 向单位工会或劳动争议调解组织申请调解；
  • 向当地劳动监察部门投诉（如12333热线）；
  • 申请劳动仲裁，主张单位违反《女职工劳动保护特别规定》，要求恢复弹性工作时间或补偿损失。

温馨提示：哺乳期权益受法律保护，但需以合理方式主张。建议优先与单位协商，保留书面沟通记录（如邮件、微信），以备后续维权使用。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。