当嫌疑人在检察院审查逮捕期间死亡时，案件的处理方式会遵循我国刑事诉讼法的相关规定，并结合具体情况进行细致处理。以下是对此问题的详细解答：
一、刑事诉讼程序的终止
法律依据：
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十五条第五项的规定，犯罪嫌疑人、被告人死亡的，不追究刑事责任。若已经追究，则应当根据案件所处的阶段，分别作出撤销案件、不起诉、终止审理或宣告无罪的决定。
处理流程：
审查逮捕阶段（虽未直接提及，但逻辑上属于审查起诉前的阶段，可参照审查起诉阶段处理）：
- 在此阶段，若嫌疑人死亡，由于审查逮捕是审查起诉的前置程序，且审查起诉阶段对嫌疑人死亡的处理是作出不起诉决定，因此，在审查逮捕期间嫌疑人死亡的，可视为案件在进入正式审查起诉前即已终止，实际上会由检察院或相关机关（如公安机关在接到检察院通知后）作出类似不起诉或撤销案件的处理，具体取决于案件是否已正式进入审查起诉程序。但严格来说，审查逮捕期间更侧重于决定是否逮捕，若嫌疑人在此期间死亡，通常不会直接作出不起诉决定，而是会由公安机关或检察院根据案件进展情况，按照撤销案件或终止相关程序的方式处理。不过，为简化说明，且考虑到审查逮捕与审查起诉的紧密关联性，此处可理解为若案件已接近或准备进入审查起诉阶段，则参照审查起诉阶段处理。
- 更严谨的处理是，若嫌疑人在审查逮捕期间死亡，且案件尚未正式移送审查起诉，公安机关在得知此情况后，应会撤销案件；若已移送审查起诉但尚未作出逮捕决定或已决定逮捕但尚未执行，检察院在确认嫌疑人死亡后，会作出终止相关程序（非严格意义上的不起诉，但效果类似，即不再继续追究刑事责任）的决定，并通知公安机关撤销案件或终止执行逮捕决定。
（若案件已进入）审查起诉阶段：
- 若嫌疑人在审查起诉阶段死亡，人民检察院应当作出不起诉决定，即不再对已死亡的嫌疑人提起公诉。
审判阶段（虽本题未直接涉及，但为完整说明，一并提及）：
- 若嫌疑人在审判阶段死亡，人民法院应当裁定终止审理。若根据已查明的案件事实和认定的证据材料，能够确认被告人无罪的，则应当判决宣告被告人无罪。
二、附带民事诉讼的处理
法律规定：
根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国刑事诉讼法〉的解释》的相关规定，对于被害人因犯罪行为遭受物质损失而提起的附带民事诉讼，若被告人死亡且没有可供执行的财产，也没有应当承担赔偿责任的义务人，应当裁定终结执行。但若存在需要追缴的违法所得或其他涉案财产，人民检察院可以依法提出没收违法所得的申请，人民法院应当依法受理。
处理方式：
终结执行：
- 在被告人死亡且无财产可供执行的情况下，法院会裁定终结附带民事诉讼的执行，即受害方无法再通过该诉讼程序获得民事赔偿。
没收违法所得：
- 若存在需要追缴的违法所得或其他涉案财产，检察机关可提出没收申请，由法院依法处理，以确保违法所得不被嫌疑人或其家属非法占有。
三、其他相关事项
财产处理：
- 如果嫌疑人有遗产，其合法继承人可能需要承担一定的法律责任或义务，如支付罚款、赔偿金等（但需注意，刑事责任因嫌疑人死亡而终止，此处主要指民事赔偿责任）。同时，受害方或其家属有权通过法律途径向嫌疑人的遗产提出申请，以寻求民事赔偿。
案件记录与档案保存：
- 即使嫌疑人死亡，案件的相关记录和档案仍会被妥善保存，以备后续可能的查询或研究使用。这是为了维护法律的严肃性和公正性，确保案件处理过程的透明度和可追溯性。
综上所述，当嫌疑人在检察院审查逮捕期间死亡时，案件将根据刑事诉讼法的相关规定终止追究刑事责任，并可能涉及附带民事诉讼的终结执行或没收违法所得等处理。同时，案件记录和档案将被妥善保存。