在诉讼过程中，当事人或其法定代理人有权在以下情况下申请相关人员回避，以确保案件的公正、公平和独立审理：
一、回避的适用对象
回避制度主要适用于审判人员，并扩展至书记员、翻译人员、鉴定人、勘验人等参与案件审理的相关人员。在刑事诉讼中，还包括检察人员和侦查人员。
二、申请回避的具体情形
是本案当事人或者与当事人有近亲属关系：
- 如果审判人员、检察人员、侦查人员等是案件的当事人，或是当事人及其法定代理人的近亲属（如父母、子女、兄弟姐妹等），由于可能存在偏袒或利益冲突的情况，当事人有权申请他们回避。
与本案有利害关系：
- 这种利害关系可能包括经济上的利益（如持有涉案公司股票）、名誉上的影响等。只要这种利害关系可能影响案件的公正处理，相关人员就应当回避。例如，法官在涉案商业纠纷中持有一方当事人公司的股票，就构成了与本案的利害关系。
担任过本案的证人、鉴定人、辩护人、诉讼代理人：
- 这些角色在案件中都有特定的职责和立场。如果他们在后续程序中担任审判、检察或侦查等角色，可能会因先入为主的观念而影响案件的公正性。因此，这些人员在后续程序中应当回避。
与本案当事人有其他关系，可能影响公正处理案件的：
- 这是一个兜底条款，旨在涵盖所有可能影响案件公正处理的其他关系。比如，如果审判人员与当事人有私人恩怨、亲密关系或同学、师生等特殊关系，且这种关系达到可能影响公正审判的程度，也应当回避。
接受当事人、诉讼代理人请客送礼，或违反规定会见当事人、诉讼代理人：
- 此类行为违反了职业道德和廉洁要求，严重破坏了司法的公正性和廉洁性。当事人有权要求这些人员回避，以确保案件的公正审理。
三、申请回避的程序与后果
- 申请方式：当事人或其法定代理人可以口头或书面方式提出回避申请，并需说明具体的理由和事实依据。
- 审查与处理：法院或其他相关机关应对回避申请进行审查。如果申请成立，相关人员需被替换或退出案件的审理过程，以确保案件的公正审理不受影响。
四、不同诉讼类型中的特殊规定
- 民事诉讼：特别强调了审判人员接受当事人、诉讼代理人请客送礼，或者违反规定会见当事人、诉讼代理人的情形，这种行为严重破坏了司法的公正性和廉洁性，当事人有权申请其回避。
- 刑事诉讼：除了共性规定外，还特别指出，如果司法人员此前以证人、鉴定人等身份参与过案件相关环节，应回避，以避免产生先入为主的观念。
- 行政诉讼：行政诉讼中的回避情形与民事诉讼、刑事诉讼类似，但法律并没有像后两者那样详细列举。实践中，可参照民事诉讼中有关回避的规定进行处理。
总结与建议：
回避制度是诉讼程序中的重要保障措施，旨在确保案件审理的公正性和公平性。当事人在发现上述任何可能影响案件公正处理的情形时，应及时提出回避申请，以维护自己的合法权益和案件的公正性。同时，司法机关也应严格执行回避制度，确保司法公正和廉洁。如果您在诉讼过程中遇到需要申请回避的情况，或有任何其他法律问题，都可以直接向我咨询。