结论前置：公司在特定情况下可以合法开除员工，这些情况主要分为员工存在过错的情形和员工无过错但因客观情况需要解除劳动合同的情形。无论哪种情形，公司都必须确保有充分的证据支持其决定，并严格遵循法定程序。

一、员工存在过错的情形下公司可以合法开除的情况

1. 试用期不符条件

   • 解释：公司在招聘时会设定录用条件，如员工在试用期内未能达到这些条件，公司可以解除劳动合同。但需确保录用条件明确且员工未达到的证据充分，例如招聘广告中明确列出的录用条件、试用期考核标准及结果等。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项。

2. 严重违纪

   • 解释：员工严重违反公司的规章制度，如多次旷工、泄露商业机密等，公司有权解除劳动合同。但规章制度必须合法、合理、经过民主程序制定并向员工公示，且公司需提供员工知晓规章制度的证据及违纪事实证明，如签字确认的规章制度手册、考勤记录等。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项。

3. 严重失职、营私舞弊

   • 解释：员工因故意或重大过失导致工作失误，给公司造成重大经济损失或其他严重后果，公司可以解除劳动合同。损害结果与员工行为需有直接因果关系，且公司需明确“重大损害”标准，并提供损失的相关证据，如财务报表、客户流失证明等。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项。

4. 兼职影响本职

   • 解释：员工未经许可与其他公司建立劳动关系，且对本职工作造成严重影响或拒不改正，公司可以解除劳动合同。公司需提供员工兼职及对本公司工作影响的证据，如兼职合同、工作记录等。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项。

5. 劳动合同无效

   • 解释：员工通过欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，该合同无效，公司可以解除劳动合同。公司需提供员工欺诈行为的证据，如虚假证书的鉴定报告等。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》相关规定，此类劳动合同自始无效。

6. 被追究刑事责任

   • 解释：员工因犯罪行为被人民法院依法判处刑罚，公司可以解除劳动合同。公司需提供法院的生效判决等相关法律文书作为依据。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项。

二、员工无过错但因客观情况需要解除劳动合同的情形

1. 患病或负伤

   • 解释：员工因病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作，公司可以提前通知并支付经济补偿金后解除劳动合同。公司需提供医疗期证明、员工不能胜任工作的相关证明，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条第一项。

2. 不能胜任工作

   • 解释：员工工作能力无法达到岗位要求，经培训或调整岗位后仍不能胜任，公司可以提前通知并支付经济补偿金后解除劳动合同。公司需明确“不能胜任工作”的标准，提供绩效考核记录等证据。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条第二项。

3. 客观情况变化

   • 解释：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且公司与员工协商未能就变更合同内容达成协议，公司可以提前通知并支付经济补偿金后解除劳动合同。例如，公司因业务调整需要裁员，或因不可抗力导致合同无法履行等。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条第三项。

三、注意事项

• 证据充分：公司在开除员工时，必须确保有充分的证据支持其决定，否则可能面临违法解除劳动合同的法律责任。
• 法定程序：公司必须遵循法定程序，包括提前通知、支付经济补偿金等。未履行法定程序可能导致公司承担不利法律后果。
• 违法后果：如果公司违法解除劳动合同，员工有权要求继续履行合同或要求公司支付经济补偿标准的二倍作为赔偿金。

作为杜鹏飞律师，我建议公司在开除员工时务必谨慎行事，确保有充分的法律依据和证据支持。如果你有任何关于劳动工伤或劳动仲裁的法律问题，可以直接向我咨询。