根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，公司在以下六种情况下可以立即解除劳动合同，且无需支付经济补偿：
试用期不符合录用条件：公司需在招聘时明确录用条件，并在试用期内进行客观考核。若员工在试用期间被证明不符合录用条件，公司可立即解除劳动合同。例如，公司招聘程序员要求熟练掌握Python，但试用期内发现候选人仅具备基础技能且无法完成任务。
严重违反规章制度：公司的规章制度必须合法、合理且经过公示。员工如连续旷工、泄露商业机密等严重违纪行为，公司可依此立即解除劳动合同。例如，员工多次迟到早退、旷工，或泄露公司机密文件。
严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害时，公司可立即解除劳动合同。例如，财务人员因疏忽导致公司损失超50万元，或因收受回扣签订不利合同。
兼职影响工作：员工同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正时，公司可立即解除劳动合同。例如，全职员工未经允许在外兼职，导致工作效率大幅下降。
劳动合同无效：如员工以欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，公司可认定合同无效并立即解除劳动关系。例如，员工伪造学历证书或工作经历被查实。
被追究刑事责任：员工被依法追究刑事责任时，公司可立即解除劳动合同。例如，员工因职务侵占罪被判刑。
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，公司在以下三种情况下需提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同：
医疗期满后不能从事原工作或另行安排的工作：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作时，公司可解除劳动合同。例如，员工患重病休假6个月后仍无法胜任原岗位，且拒绝调岗。
不胜任工作经培训或调岗后仍不合格：员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的，公司可解除劳动合同。例如，销售连续3个月未达业绩目标，经培训和调岗后仍未改善。
客观情况发生重大变化致合同无法履行：劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经公司与员工协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，公司可解除劳动合同。例如，公司部门裁撤，员工拒绝接受跨城市调岗。
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，公司在以下情形下可进行经济性裁员，但需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告：
裁员规模：需裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的。
法定情形：包括公司依照企业破产法规定进行重整的；生产经营发生严重困难的；企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的；以及其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。
优先留用规则：裁减人员时，应当优先留用与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的、与本单位订立无固定期限劳动合同的以及家庭无其他就业人员，有需要扶养的老人或者未成年人的员工。
协商一致解除：公司与员工达成一致后可解除合同，通常需支付经济补偿。
企业破产重整：企业进入破产程序时，管理人可依法解除合同。
吊销执照等法定终止情形：如公司营业执照被撤销，劳动合同自动终止。
注意事项：
程序合法性：解除合同必须遵循法定程序，如通知工会、出具书面证明等。
证据充分性：公司需提供违纪事实的证据，如考勤记录、监控视频等。
经济补偿：无过失性辞退和经济性裁员需按N+1标准支付补偿（N为工作年限）。若公司违法解除劳动合同，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
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