公司在以下情况下可以开除员工，但必须严格遵循法律规定的条件和程序，否则可能面临支付经济赔偿金等法律责任：
一、劳动者存在过错的情况（过失性辞退，用人单位无需提前通知即可解除劳动合同）
试用期间不符合录用条件
- 解释：公司需在招聘时明确录用条件，并在员工入职时告知。如员工在试用期结束时未满足这些条件，公司可解除劳动合同。例如，公司招聘程序员要求熟练掌握Python，但试用期内发现候选人仅具备基础技能且无法完成任务。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项。
严重违反规章制度
- 解释：公司的规章制度必须合法、合理且经过公示。员工如连续旷工、泄露商业机密等严重违纪行为，公司可依此解除劳动合同。例如，员工多次迟到早退、旷工，或泄露公司机密文件。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项。
严重失职或营私舞弊
- 解释：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害时，公司可解除劳动合同。例如，财务人员因疏忽导致公司损失超50万元，或因收受回扣签订不利合同。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项。
兼职影响工作
- 解释：员工同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正时，公司可解除劳动合同。例如，全职员工未经允许在外兼职，导致工作效率大幅下降。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第四项。
劳动合同无效
- 解释：如员工以欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，公司可认定合同无效并解除劳动关系。例如，员工伪造学历证书或工作经历被查实。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》相关规定，此类劳动合同自始无效。
被追究刑事责任
- 解释：员工被依法追究刑事责任时，公司可解除劳动合同。例如，员工因职务侵占罪被判刑。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项。
二、非因劳动者过错的情况（无过失性辞退，需提前30天书面通知或支付代通知金）
患病或非因工负伤
- 解释：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或新安排的工作时，公司可解除劳动合同。例如，员工因病休假半年后，仍无法胜任原岗位工作，且公司无法为其安排其他合适岗位。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条第一项。
不能胜任工作
- 解释：员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任时，公司可解除劳动合同。例如，员工连续多次绩效考核不合格，经培训后仍无法达到岗位要求。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条第二项。
客观情况变化
- 解释：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议时，公司可解除劳动合同。例如，公司因业务调整需要撤销某个部门，导致该部门员工无法继续在公司工作。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十条第三项。
三、经济性裁员
- 解释：在公司依照企业破产法规定进行重整或生产经营发生严重困难时，可进行经济性裁员。例如，公司因市场变化导致业务大幅萎缩，需要裁减部分员工以维持运营。
- 法律依据：相关法律法规对经济性裁员有具体规定，包括裁员程序、裁员比例等。
四、开除员工的程序要求
- 公司开除员工前必须具备充足的事实依据，并遵循合法程序。包括明确且合理的规章制度、充分的过错证据、通知工会（如有）并研究其意见、向员工出具解除劳动合同的书面通知等。
五、经济补偿与赔偿
合法开除无需赔偿
- 解释：若公司依据合法事由开除员工，无需支付经济补偿或赔偿金，但应支付员工应得的工资。
违法开除需赔偿
- 解释：若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
总结：公司在开除员工时必须谨慎行事，确保有充足的事实依据和符合法律规定的程序步骤。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。