结论前置：打架被警察抓了一个月后能否报名当兵，需根据具体情况判断，主要取决于是否受到刑事处罚以及处罚的种类和情节。以下分情况详细说明：

1. 若打架行为未构成犯罪，仅受到行政处罚（如行政拘留、罚款等）
   根据《征兵政治审查工作规定》，行政处罚本身不直接导致无法参军，但需满足以下条件：

   • 处罚已执行完毕，且无未结案件；
     
   • 打架行为未造成严重后果（如重伤、死亡或重大财产损失）；
     
   • 个人无其他违法犯罪记录，且政治表现良好。
     建议：若符合上述条件，可尝试报名，但需在政审环节如实说明情况，并提供相关证明材料（如处罚决定书、结案证明等）。

2. 若打架行为构成犯罪，但情节轻微，被免予刑事处罚或判处缓刑
   根据《征兵政治审查工作规定》，曾被刑事处罚（包括免予刑事处罚、缓刑）的，原则上不符合参军条件。但若符合以下例外情形，可能仍有机会：

   • 犯罪时未满18周岁，且被判处5年以下有期徒刑；
     
   • 犯罪情节轻微，主观恶性小，且社会影响较小；
     
   • 服刑期间表现良好，释放后无再犯记录。
     建议：此类情况需提前向当地征兵办公室咨询，并准备详细材料（如判决书、改造表现证明等）争取特批。

3. 若打架行为构成犯罪，且被判处实刑（如拘役、有期徒刑等）
   根据《兵役法》和《征兵政治审查工作规定》，曾被判处刑罚的公民，不得服兵役。即使刑罚已执行完毕，仍无法通过政审。
   建议：此类情况无法报名参军，需考虑其他职业方向。

补充说明：

• 政审环节会综合考察个人政治表现、道德品质、遵纪守法等情况，即使未受刑事处罚，若打架行为反映出品行问题（如欺凌、暴力倾向），也可能影响参军资格。
  
• 不同地区、不同兵种对政审标准可能存在差异，建议提前向当地征兵办公室了解具体要求。
  

温馨提示：若您对自身情况是否符合参军条件仍有疑问，可直接向我咨询，我会结合具体情节为您进一步分析。