结论前置：私自埋设煤气管道在农民土地上的行为是不合法的，农民有权要求挖出并恢复土地原状，同时，相关责任方可能面临法律责任。以下是对此问题的详细分析：
一、土地权属与使用规定
土地权属：
- 根据《中华人民共和国土地管理法》的相关规定，农村土地（包括宅基地）属于农民集体所有，农民对土地仅享有使用权，而非所有权。这种使用权具有特定性和限制性，不得随意改变土地用途或进行非法建设。
土地使用限制：
- 农民在使用土地时，必须遵守土地管理法规，不得擅自改变土地用途，如将农用地转为建设用地等。同时，对于土地上的建设活动，也需经过相关部门的审批和许可。
二、私自埋设煤气管道的法律后果
侵犯土地使用权：
- 私自埋设煤气管道在农民土地上，未经土地使用权人同意，侵犯了农民的土地使用权。农民有权要求停止侵害、排除妨碍，并恢复土地原状。
可能面临的法律责任：
- 行政责任：相关责任方可能因违反土地管理法规而面临行政处罚，如罚款、责令限期改正等。
- 民事责任：如果因私自埋设煤气管道给农民造成损失的，相关责任方还需承担民事赔偿责任，包括赔偿土地损失、恢复土地原状的费用等。
- 刑事责任：在极端情况下，如果私自埋设煤气管道的行为严重破坏了土地资源或造成了其他严重后果，相关责任方还可能触犯刑法，面临刑事处罚。
三、农民的权益保护与行动建议
权益保护：
- 农民作为土地使用权人，有权保护自己的土地不受非法侵害。如果发现有人私自在其土地上埋设煤气管道，可以立即制止并要求对方停止侵害。
行动建议：
- 与责任方协商：首先尝试与私自埋设煤气管道的责任方进行协商，要求其挖出管道并恢复土地原状。
- 向相关部门举报：如果协商无果，可以向当地土地管理部门或相关执法机构举报，请求其介入处理。
- 寻求法律援助：在必要时，可以寻求法律援助或咨询专业律师，通过法律途径维护自己的合法权益。
四、合法使用土地与管道铺设的建议
合法申请与审批：
- 如果因公共利益或实际需要确实需要在农民土地上埋设煤气管道，应依法向相关部门提出申请，并经过审批和许可后方可进行。
协商与补偿：
- 在获得审批后，应与土地使用权人进行协商，就管道铺设、土地占用、补偿等事宜达成一致意见，并签订相关协议。
综上所述，私自埋设煤气管道在农民土地上的行为是不合法的，农民有权要求挖出并恢复土地原状。同时，相关责任方可能面临法律责任。因此，建议在进行任何土地使用或建设活动时，都应遵守相关法律法规，尊重农民的土地使用权，通过合法途径进行申请和审批。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。