结论：工厂在员工签订二次合同后，第三次不续签是否合法，需根据具体情况判断，主要看是否符合《劳动合同法》中关于劳动合同终止和续签的规定。

分析：

1. 劳动合同终止的法定情形：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满或者双方约定的终止条件出现，劳动合同即行终止。若员工与工厂签订的二次合同均已到期，且双方未就续签达成一致，工厂选择不续签，在符合法定程序的情况下，是合法的。

2. 续签劳动合同的特殊情形：

   • 连续订立固定期限劳动合同的次数：根据《劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这意味着，在满足一定条件下，员工有权要求签订无固定期限劳动合同。
   • 工厂不续签的合法性：若员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，而工厂拒绝续签，则工厂的行为可能构成违法。此时，员工有权要求工厂支付经济补偿金，甚至可能要求工厂继续履行劳动合同或签订无固定期限劳动合同。

3. 经济补偿金的支付：

   • 若工厂因合法原因（如劳动合同期满且双方未就续签达成一致）不续签劳动合同，根据《劳动合同法》第四十六条，工厂应向员工支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准通常按照员工在工厂的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

建议：

• 员工角度：若您认为工厂不续签劳动合同的行为违法，或您符合签订无固定期限劳动合同的条件而工厂拒绝续签，建议您及时收集相关证据（如劳动合同、工作证明、工资单等），并向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
• 工厂角度：若您决定不续签劳动合同，请确保符合法定程序，并提前与员工进行沟通，明确告知不续签的原因和依据。若员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，而您确实不想续签，建议您与员工协商解决，或咨询专业律师以规避法律风险。

后续行动：若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律解答和帮助。