结论：长时间请假陪护病人，公司是否会开除，这并非一个绝对的问题，而是取决于多种因素，包括公司的规章制度、劳动法的相关规定以及请假的原因和时长等。以下是对这一问题的详细分析：
一、公司规章制度的角度
规章制度内容：首先，需要查看公司的规章制度中是否有关于员工请假陪护病人的具体规定。如果公司有明确的规章制度，并且规定了请假陪护病人的最长时限或相关条件，那么员工在请假时就需要遵守这些规定。
规章制度合法性：同时，公司的规章制度必须合法，不能违反劳动法的相关规定。如果公司的规章制度违反了劳动法，那么这些规定是无效的，员工有权拒绝遵守。
二、劳动法的角度
医疗期规定：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。在医疗期内，公司不得解除劳动合同。但这里的关键是，医疗期是针对员工本人患病或非因工负伤的情况，而非员工陪护病人。
特殊情况处理：虽然劳动法没有直接规定员工可以因陪护病人而长时间请假，但如果员工能够证明其请假是出于必要且合理的理由（如直系亲属重病需要陪护），并且已经与公司进行了充分沟通，公司可能会根据实际情况给予一定的理解和支持。然而，这并不意味着公司必须无条件批准员工的长时间请假申请。
解除劳动合同的法定情形：根据《劳动合同法》的相关规定，公司解除劳动合同必须符合法定情形，如员工严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等。如果员工仅仅是因为长时间请假陪护病人而被公司开除，且这种开除行为不符合法定情形，那么员工有权向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。
三、实际操作建议
与公司沟通：如果员工需要长时间请假陪护病人，建议首先与公司进行沟通，说明请假的原因和时长，并尝试达成共识。如果公司同意员工的请假申请，最好签订书面协议，明确请假的时长、工资待遇等相关事项。
了解法律法规：员工在请假前，最好了解相关的法律法规和公司的规章制度，确保自己的请假行为合法合规。如果公司拒绝员工的请假申请或提出不合理的要求，员工可以咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径。
准备证据材料：如果员工需要向劳动仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼，需要准备充分的证据材料来证明自己的主张。这些证据材料可能包括医院的诊断证明、请假申请单、公司的规章制度等。
总结来说，长时间请假陪护病人，公司是否会开除取决于多种因素。员工在请假前最好与公司进行充分沟通，并了解相关的法律法规和公司的规章制度。如果遇到问题或纠纷，可以及时咨询专业律师，维护自己的合法权益。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。