针对您提出的问题，即企业60岁以上员工在休息期间于宿舍因疾病死亡的处理方式，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，60岁以上的员工若已经达到或超过法定退休年龄，并且已经办理了退休手续或依法享受了城镇职工基本养老保险待遇，那么他们在非工作时间、非工作场所因疾病死亡的情况，通常不被视为工伤。在这种情况下，企业主要需要关注的是员工遗属的丧葬补助金和抚恤金的申领问题。
一、丧葬补助金和抚恤金的申领
法律依据：
- 根据《中华人民共和国社会保险法》第十七条，参加基本养老保险的个人，因病或者非因工死亡的，其遗属可以领取丧葬补助金和抚恤金。
申领流程：
- 遗属需要准备相关材料，如死亡证明、殡葬证明、社会保障卡等，并前往当地的人力资源和社会保障局或相关社保经办机构进行申领。
- 申领过程中，可能需要填写一些表格，并提交上述材料的原件和复印件。
- 社保经办机构会对提交的材料进行审核，审核通过后，会按照规定的标准发放丧葬补助金和抚恤金。
注意事项：
- 不同地区对于丧葬补助金和抚恤金的发放标准可能有所不同，因此遗属在申领前最好先了解当地的具体政策。
- 申领过程中，遗属需要保持与社保经办机构的沟通，及时了解申领进度和结果。
二、企业责任与义务
协助申领：
- 企业可以协助遗属准备相关材料，并提供必要的帮助和支持，以确保申领过程的顺利进行。
人文关怀：
- 在员工不幸去世后，企业可以表达对员工及其遗属的慰问和关怀，这有助于维护企业的良好形象和员工关系。
三、特殊情况处理
- 如果60岁以上的员工虽然达到或超过法定退休年龄，但未办理退休手续或未依法享受城镇职工基本养老保险待遇，且继续在原用人单位工作，那么他们在工作期间或因工作原因受到事故伤害或患职业病的，用人单位应依法承担工伤保险责任。不过，这种情况与您提出的问题不符，因为您询问的是休息期间在宿舍因疾病死亡的情况。
综上所述，对于60岁以上员工在休息期间于宿舍因疾病死亡的情况，企业主要需要关注的是协助遗属申领丧葬补助金和抚恤金，并提供必要的人文关怀。希望这些解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。