结论前置：若小孩子未经您同意使用您的手机在游戏内充值，您作为法定代理人有权根据法律规定申请退款。通过收集充分证据，与游戏平台沟通，必要时采取法律手段，您有望成功追回充值款项。以下从多个角度为您详细分析：
一、法律依据与民事行为能力
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定：
- 八周岁以下未成年人：属于无民事行为能力人，其独立实施的民事法律行为无效。因此，若您的孩子未满八周岁，其在游戏中的充值行为无效，您有权要求退款。
- 八周岁以上未成年人：属于限制民事行为能力人，未经法定代理人同意或追认的，其实施的与其年龄、智力不相适应的民事法律行为也无效。若您的孩子已满八周岁，但充值行为与其年龄、智力不相适应，您同样有权要求退款。
二、退款申请前的准备工作
在申请退款前，您需要做好以下准备工作：
收集证据：
- 身份证明：孩子的出生证明、户口本等，以证明其年龄和民事行为能力。
- 充值记录：包括游戏平台的充值界面截图、支付订单详情、银行交易记录、微信支付记录、支付宝支付记录等，明确充值的时间、金额等信息。
- 充值行为证明：如孩子玩游戏的视频记录、与游戏客服或其他玩家的聊天记录等，证明是孩子自主进行的充值。
了解游戏平台退款政策：不同游戏平台的退款政策可能有所不同，您在申请退款前应仔细阅读并了解相关政策，以便更好地与游戏平台沟通。
三、与游戏平台沟通
在准备好相关证据后，您可以按照以下步骤与游戏平台沟通：
- 联系客服：通过游戏平台提供的官方渠道（如微信公众号、官网等）联系客服，清晰、诚实地说明情况，并提供之前收集的证据。
- 填写退款申请：如游戏平台要求，您需准确填写退款申请表单，包括退款金额、充值日期、充值方式及孩子身份信息等内容。
- 等待审核与处理结果：游戏平台会对退款申请进行审核，时间通常在7至30个工作日内。您需耐心等待，并保持联系方式畅通以便平台及时反馈。
四、特殊情况处理
若遇到以下特殊情况，您可以采取以下措施：
- 大额充值或拒绝退款：若孩子在特定时间段内进行了大额充值，或游戏平台拒绝退款，您可考虑向支付平台（如微信、支付宝）发起退款申请。支付平台会根据具体情况进行审核和处理，若仍无法解决问题，可向消费者协会或相关部门投诉。
- 法律途径：若以上途径均无法解决问题，您可向法院提起诉讼，要求判决充值行为无效并返还款项。在提起诉讼前，需确定管辖法院（通常是被告住所地或合同履行地人民法院），撰写起诉状，并准备相关证据材料。
五、注意事项
在申请退款过程中，您还需注意以下事项：
- 保持冷静与耐心：在申请退款过程中，您应保持冷静和耐心，积极配合游戏平台或支付平台进行审核和处理。
- 加强监管与教育：您应加强对孩子的监管和教育，引导孩子正确使用金钱，避免类似情况再次发生。
- 保留证据与记录：在整个过程中，您应妥善保管所有证据和记录，以备不时之需。
若您在申请退款过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。作为专业律师，我将竭诚为您提供法律支持。