针对您在工作9个月后仍未签订劳动合同的情况，以下是我为您提供的详细解答和建议：
一、补签劳动合同的有效性
您完全有权要求用人单位与您补签劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位应在用工之日起一个月内与劳动者签订书面劳动合同。若超过一个月仍未签订，您不仅有权要求补签，还能依法追讨从用工之日的第二个月起至补签前（但最长不超过一年）的双倍工资作为赔偿。因此，补签劳动合同是有效的，并且您还有权获得相应的赔偿。
二、处理步骤与建议
与用人单位协商：
- 首先，我建议您尝试与用人单位进行友好沟通，明确指出未签订劳动合同的违法性，并要求尽快补签。在协商过程中，请保持冷静和理性，明确表达自己的诉求，并保留好沟通记录，如邮件、短信或录音等，以备后续需要。
收集劳动关系证据：
- 为了确保您的权益得到妥善维护，您需要收集能够证明与用人单位存在劳动关系的证据。这些证据可以包括工资支付凭证、工作证、考勤记录、同事证言以及工作过程中的文件资料等。这些证据在后续的法律程序中将起到至关重要的作用，有助于证明您的主张。
要求支付双倍工资：
- 根据法律规定，从用工之日的第二个月起至第九个月（或补签前，但最长不超过一年），您有权要求用人单位支付双倍工资作为赔偿。如果用人单位拒绝支付，您应准备好相关证据，以便通过法律途径追讨。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门进行投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行调查和处理，包括罚款、责令改正等。这将有助于推动问题的解决，并维护您的合法权益。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门的处理未能满足您的诉求，或者您希望直接通过法律程序解决争议，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要提交仲裁申请书、身份证明、劳动关系证明等相关材料，并注意在规定的时效内提出申请。仲裁庭将根据双方提供的证据和相关法律法规进行裁决，如裁决用人单位支付双倍工资等款项。如果用人单位未在规定期限内履行裁决，您还可以向人民法院申请强制执行。
三、注意事项
- 尽管您与用人单位之间未签订书面劳动合同，但您们之间仍存在事实上的劳动关系，您享有劳动法规定的各项权益。
- 在处理此类问题时，请保持冷静和理性，遵循法律程序，确保自身权益得到妥善维护。
- 如果您需要法律援助或咨询，我建议您寻求专业律师的帮助和指导。律师将能够为您提供更具体、更专业的建议和支持。
希望以上解答和建议能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。