要证明因劳动者违反规章制度而合法解除劳动合同，用人单位需从以下几个方面进行举证和操作：

1. 规章制度需合法有效

   • 制定程序合法：根据《劳动合同法》第四条，用人单位在制定、修改或者决定有关劳动报酬、工作时间、休息休假、劳动安全卫生、保险福利、职工培训、劳动纪律以及劳动定额管理等直接涉及劳动者切身利益的规章制度或者重大事项时，应当经职工代表大会或者全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或者职工代表平等协商确定。因此，规章制度必须经过民主程序制定，确保劳动者的参与权。
   • 内容合法合理：规章制度的内容不得违反国家法律、行政法规及政策规定，且应合理，不得显失公平。例如，规章制度中不能设定过于苛刻的处罚措施，或者对同一行为设定多重处罚等。
   • 公示或告知劳动者：规章制度制定后，用人单位需通过适当方式公示或告知劳动者，如通过内部公告、员工手册、培训等方式，确保劳动者知晓并理解规章制度的内容。

2. 劳动者存在违反规章制度的行为

   • 事实清楚：用人单位需提供充分证据证明劳动者确实存在违反规章制度的行为，如监控录像、考勤记录、工作记录、同事证言等。证据应真实、合法、关联，能够形成完整的证据链。
   • 行为严重性：根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。因此，用人单位需证明劳动者的行为达到了“严重”程度，即该行为对用人单位的生产经营秩序、管理秩序或员工关系等造成了重大影响。

3. 解除程序合法

   • 通知工会：根据《劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。因此，在解除劳动合同前，用人单位需通知工会并听取其意见。
   • 送达解除通知：用人单位需向劳动者送达解除劳动合同的通知，并明确解除的理由和依据。通知应采用书面形式，并确保劳动者能够收到。

4. 经济补偿与赔偿的考量

   • 无需支付经济补偿：若劳动者因严重违反规章制度而被解除劳动合同，根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位无需支付经济补偿。
   • 可能涉及赔偿：若劳动者的行为给用人单位造成损失的，用人单位有权要求劳动者承担赔偿责任。但需注意，赔偿范围应限于直接经济损失，且需证明损失与劳动者行为之间的因果关系。

举例说明： 假设某公司员工张三多次迟到早退，且在公司内部聚众赌博，严重违反了公司的规章制度。公司为证明其解除劳动合同的合法性，需提供以下证据：

• 规章制度：展示公司经过民主程序制定并公示的规章制度，其中明确规定了迟到早退和聚众赌博的处罚措施。
• 证据材料：提供张三的考勤记录、同事证言、监控录像等证据，证明张三确实存在多次迟到早退和聚众赌博的行为。
• 解除程序：展示公司通知工会的书面材料、工会的意见以及公司向张三送达的解除劳动合同通知等。

综上所述，要证明因劳动者违反规章制度而合法解除劳动合同，用人单位需确保规章制度合法有效、劳动者存在违反规章制度的行为且行为严重、解除程序合法，并准备好相关证据材料。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。