刑事审查起诉阶段的延期是由人民检察院作出决定，而非批准。以下是对这一问题的详细解释：

一、延期决定的法律依据

在刑事审查起诉阶段，延期的决定主要依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定。具体来说，根据《刑事诉讼法》第一百七十二条，人民检察院对于监察机关、公安机关移送起诉的案件，应当在一个月以内作出决定。对于重大、复杂的案件，可以延长十五日。若犯罪嫌疑人认罪认罚且符合速裁程序适用条件，则应在十日以内作出决定；但对可能判处的有期徒刑超过一年的案件，审查起诉期限可延长至十五日。这些规定明确了人民检察院在审查起诉阶段的期限，并允许在特定情况下延长。

二、延期决定的程序

1. 提出意见：延长审查起诉期限需由承办案件的检察官提出意见。
2. 审核与批准：该意见需经过部门负责人审核，并报检察长批准。
3. 出具决定书：人民检察院在作出延长起诉决定后，应出具延长起诉的决定书。
4. 通知相关方：同时，人民检察院应通知公安机关或监察机关以及犯罪嫌疑人及其辩护人，确保各方知晓延期决定。

三、延期决定的目的与意义

1. 保障案件质量：延长审查起诉期限给予检察机关更充裕的时间对案件进行全面、细致的审查，确保准确认定犯罪事实和适用法律，防止冤假错案的发生。
2. 维护当事人合法权益：在公正处理案件的同时，充分保障犯罪嫌疑人、被害人等各方当事人的合法权益，使案件处理结果体现公平正义。

四、特殊情形下的延期规定

除了上述一般规定外，还有一些特殊情形下的延期规定：

1. 边远地区及复杂案件：在交通十分不便的边远地区的重大复杂案件、重大的犯罪集团案件、流窜作案的重大复杂案件，以及犯罪涉及面广、取证困难的重大复杂案件中，若期限届满不能侦查终结，经过省、自治区、直辖市人民检察院的批准或决定，可以延长二个月。
2. 长期刑罚案件：对犯罪嫌疑人可能判处十年有期徒刑以上刑罚，且依照上述规定延长期限届满后仍不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或决定，可以再延长二个月。
3. 补充侦查案件：对于补充侦查的案件，补充侦查完毕移送人民检察院后，需重新计算审查起诉期限。补充侦查以两次为限，每次不得超过一个月。

五、延期决定与批准的区别

在刑事诉讼中，“决定”和“批准”是两个不同的法律概念。决定通常由人民检察院或人民法院直接作出，用于对案件处理方式、期限等事项进行裁决。而批准则通常涉及上级机关对下级机关提出的请求或建议的同意或认可。在刑事审查起诉阶段，延期是由人民检察院根据案件情况和法律规定直接作出的决定，无需经过其他机关的批准。

综上所述，刑事审查起诉阶段的延期是由人民检察院作出决定，旨在保障案件质量和维护当事人合法权益。如果您在刑事案件方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。