结论：公司未与员工签订劳动合同，而员工在外面兼职，是否需要赔偿需分情况讨论，主要取决于兼职的性质以及是否对公司造成损害。以下从不同角度进行分析：
一、兼职性质与劳动关系认定
非全日制用工兼职：
- 若兼职属于非全日制用工形式（即每日工作时间不超过四小时，每周累计不超过二十四小时），根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，虽可不订立书面劳动合同，但用人单位仍需承担支付劳动报酬、提供劳动条件等义务。
- 在此情况下，员工兼职通常不会对公司造成直接损害，因此公司一般无需因员工兼职而要求赔偿。但公司有权要求员工遵守基本的职业操守，如不泄露公司商业秘密等。
事实劳动关系兼职：
- 若兼职实际构成全日制用工或存在长期稳定的用工关系，即使未签订书面合同，仍形成事实劳动关系。此时，公司需履行全部劳动法义务，包括支付双倍工资差额等赔偿责任（针对未签合同的情况）。
- 若员工兼职行为对公司造成了实际损害（如泄露商业秘密、利用公司资源为兼职单位谋利等），公司有权要求员工承担赔偿责任。赔偿范围通常包括直接经济损失和可得利益损失，具体数额需根据实际情况和证据确定。
二、公司未签劳动合同的法律责任
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，若公司未与员工签订劳动合同，员工有权主张从第二个月起至补签合同前一日的双倍工资差额。
- 但这一责任与员工是否兼职无直接关联，而是基于公司未履行签订劳动合同的法定义务。
三、员工兼职的合法性与合规性
- 员工在业余时间兼职并不违反法律规定，但需确保兼职行为不违反与公司的竞业限制协议（如有）或职业道德规范。
- 若员工兼职行为违反了公司的规章制度或劳动合同中的相关条款（如禁止兼职条款），公司有权依据内部规定对员工进行处理，但处理方式需合法合规，不得侵犯员工的合法权益。
四、建议与措施
对于公司：
- 尽快与员工补签书面劳动合同，以明确双方的权利义务关系。
- 完善公司规章制度，明确员工兼职的管理规定和处罚措施（如有必要）。
- 加强员工职业道德教育，提高员工的法律意识和职业操守。
对于员工：
- 了解并遵守公司的规章制度和劳动合同中的相关条款。
- 在兼职前评估兼职行为可能对公司造成的影响，并尽量避免产生利益冲突。
- 如因兼职行为与公司产生纠纷，应积极与公司协商解决或寻求法律途径维护自身权益。
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