结论前置：连带责任保证人偿还债务后能否依据判决书直接申请执行追偿，主要取决于法院的判决书中是否明确赋予了保证人追偿权。若判决书中已明确，则可直接申请；若未明确，则需另行提起诉讼。

一、可以直接申请执行追偿的情况

1. 判决书明确追偿权：

   • 根据《担保法》司法解释（虽已废止，但相关精神在《民法典》中得以延续）及司法实践，人民法院判决保证人承担责任或者赔偿责任的，应当在判决书主文中明确保证人享有追偿权。若判决书中已明确赋予保证人追偿权，保证人无需另行诉讼，即可依据该判决书直接申请强制执行。
   • 举例：假设法院在判决书中明确写道：“保证人王某在承担保证责任后，有权在其承担责任的范围内向债务人李某追偿。”那么，王某在偿还债务后，就可以直接依据这份判决书向法院申请强制执行，要求李某偿还其代为清偿的债务。

2. 提交必要材料：

   • 申请强制执行时，保证人需提交强制执行申请书、保证人承担保证责任的证据（如还款凭证）、证明保证人与债务人之间存在保证关系及追偿权的相关合同或法律文书等。

二、不可以直接申请执行追偿的情况及后续操作

1. 判决书未明确追偿权：

   • 若人民法院的判决书中未明确保证人的追偿权，保证人则不能直接依据该判决书申请强制执行。此时，保证人需基于承担责任的事实，向人民法院提起新的诉讼，请求确认其追偿权并要求债务人偿还相应款项。
   • 举例：如果法院在判决书中仅判决保证人承担连带清偿责任，但未明确提及追偿权，那么保证人在偿还债务后，就不能直接申请强制执行，而需要先通过诉讼确认其追偿权。

2. 诉讼时效计算：

   • 保证人对债务人行使追偿权的诉讼时效，自保证人向债权人承担责任之日起开始计算。因此，保证人应及时提起诉讼以避免超过诉讼时效。

三、法律建议与总结

1. 积极主张追偿权：

   • 为确保自身权益，建议保证人在参与诉讼时积极主张追偿权，并要求法院在判决书中明确该项权利。这样，在偿还债务后，保证人就可以直接依据判决书申请强制执行，无需再经历繁琐的诉讼程序。

2. 妥善保留相关证据：

   • 无论判决书是否明确追偿权，保证人都应妥善保留相关证据，如还款凭证、保证合同等。这些证据在后续追偿过程中将起到至关重要的作用。

3. 及时咨询专业律师：

   • 在处理此类法律问题时，保证人可能会遇到各种复杂情况。因此，建议保证人在必要时及时咨询专业律师，以便获得更具体、更专业的法律建议。

最后，作为专业律师，我深知法律问题的复杂性和多样性。如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或困惑，欢迎直接向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供全面、准确的法律解答和帮助。