结论前置：老公不可以私自卖掉老婆名下的车子，除非存在特殊情况或已获得老婆的明确授权。
详细分析：
车辆财产性质的确定：
- 个人财产情况：如果车辆是老婆用婚前财产购买并登记在自己名下，或者通过遗嘱、赠与合同明确只归老婆一方所有的，那么该车辆属于老婆的个人财产。根据法律规定，老婆对自己的财产享有占有、使用、收益和处分的权利。因此，老公未经老婆同意，无权私自将车卖掉，否则将构成对老婆财产权的侵犯，老婆有权要求老公恢复原状或赔偿损失。
- 夫妻共同财产情况：如果车辆是婚后用夫妻共同财产购买，即使登记在老婆名下，也属于夫妻共同财产。夫妻对共同财产有平等的处理权，处理时需双方协商一致。老公未经老婆同意擅自处理，该处置行为不具有法律效力。但如第三人善意取得（即不知道车辆的共有情况、支付了合理对价且完成了车辆过户等法定手续），变卖行为在符合相关法律规定的情况下可能被认定有效。此时，老婆虽可能无法追回车辆，但有权要求老公赔偿因此造成的损失。
特殊情况下的处理：
- 事先授权或同意：如果老婆事先已经授权或同意老公出售车辆，并且提供了相应的证明文件（如书面授权书），那么老公可以合法地卖掉这辆车。这种授权可以是明确的，也可以是通过行为默示的，但为了避免后续纠纷，最好以书面形式记录授权内容。
- 紧急避险等特殊情况：在某些极端情况下，如紧急避险等，老公可能出于保护公共利益或个人利益的需要而不得不出售车辆。但这需要具体情况具体分析，并且可能需要通过法律程序来确认其合法性。在这种情况下，即使老公未经老婆同意出售了车辆，也可能因符合法律规定的特殊情形而不被认定为违法。
法律建议：
- 沟通与授权：为避免不必要的法律纠纷和家庭矛盾，老公在打算出售车辆前应与老婆进行充分沟通，并确保已获得她的明确同意和授权。最好以书面形式记录授权内容，以便在必要时作为证据使用。
- 了解法律后果：老公应了解私自卖掉老婆名下车辆可能面临的法律后果，包括被要求恢复原状、赔偿损失以及可能引发的家庭关系紧张甚至破裂等。
- 寻求法律帮助：如果老公对车辆所有权、处分权或相关法律问题存在疑问，或者已经因私自卖车而面临法律纠纷，应及时向我咨询，以便获得更详细的建议和帮助。
总结：老公在未经老婆同意的情况下擅自卖掉登记在她名下的车辆是违法的，除非存在特殊情况或已获得事先授权。为确保交易的合法性和有效性，以及维护家庭关系的和谐稳定，建议双方充分沟通并遵循相关法律法规的规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。