嫌疑人住院期间，警察的处理方式主要取决于案件性质、嫌疑人病情及法律规定，具体分为以下几种情况：

1. 病情不影响羁押的，警察会继续羁押或采取监视居住措施
   若嫌疑人病情较轻（如普通外伤、慢性病稳定期），不影响正常羁押，警察会将其继续关押在看守所或指定医疗机构（如看守所医院）。若病情需住院但未达到取保候审条件（如可能判处重刑、有社会危险性），警察可能申请监视居住，要求嫌疑人在医院接受治疗期间不得离开，并由警方或指定人员监管。

2. 病情严重需取保候审的，警察会依法办理手续
   若嫌疑人患有严重疾病（如传染病、生活不能自理的疾病），或符合《刑事诉讼法》第67条规定的取保候审条件（如可能判处管制、拘役或独立适用附加刑，或羁押期限届满案件未办结），警察会依法为其办理取保候审。此时嫌疑人需提供保证人或缴纳保证金，并遵守“不得离开居住地、随传随到”等规定。若违反规定，可能被撤销取保候审并重新羁押。

3. 病情危急需紧急治疗的，警察会优先保障生命权
   若嫌疑人突发危急病情（如心脏病、严重外伤），警察会立即联系医疗机构抢救，并派员全程陪同。治疗期间，警方会持续监控嫌疑人，防止其逃脱或串供。若嫌疑人因病情死亡，案件会依法终止侦查，但需通过尸检等程序确认死因与案件无关。

补充说明：

• 警察处理时需平衡“保障嫌疑人健康权”与“侦查需要”，若嫌疑人以装病逃避羁押，警方会通过医疗鉴定核实病情。
  
• 嫌疑人住院期间，律师可依法会见，但需提前向警方申请并遵守医院规定（如限制会见时间、人数）。
  
• 若您或家人涉及此类情况，可直接向我咨询具体法律程序及应对策略。