结论：警方有权利追究误伤他人导致肋骨断裂的责任，无论对方是否起诉。
分析说明：
法律责任基础：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体，造成轻伤的，构成故意伤害罪。虽然您提到的是“误伤”，但误伤若导致他人肋骨断裂，通常也会构成轻伤或更严重的伤害，因此可能涉及刑事责任。即便对方未起诉，警方在发现或接到报案后，仍有权依法进行调查和处理。
警方职权：
- 警方作为执法机关，负责维护社会治安和打击犯罪。在接到关于伤害事件的报案或发现相关线索时，警方有义务进行调查，以确定是否构成犯罪，并依法采取相应的措施。这包括但不限于传唤嫌疑人、询问证人、收集证据等。
对方不起诉的影响：
- 对方是否起诉，并不影响警方对案件的调查和处理。在刑事案件中，起诉权通常由检察机关行使，而非被害人。即使被害人表示不起诉或撤回起诉，警方和检察机关仍可能根据案件情况，依法决定是否追究犯罪嫌疑人的刑事责任。
可能的法律后果：
- 如果误伤行为被认定为犯罪，您可能面临刑事处罚，包括但不限于有期徒刑、拘役或罚金等。同时，您还可能需要承担民事赔偿责任，赔偿对方因伤害而遭受的损失，如医疗费、误工费等。
建议与行动：
- 主动配合调查：如果警方介入调查，建议您主动配合，如实陈述事实，提供相关证据，以减轻或避免可能的法律责任。
- 寻求法律帮助：鉴于此类案件的复杂性和严重性，建议您尽快咨询专业律师，了解您的权利和义务，以及可能的法律后果。律师可以为您提供法律建议，帮助您制定应对策略。
- 关注案件进展：在案件处理过程中，保持与警方的沟通，及时了解案件进展，以便做出相应的应对。
后续思考：误伤他人导致肋骨断裂是一个严重的法律问题，不仅可能涉及刑事责任，还可能引发民事赔偿。因此，在日常生活中，我们应尽量注意自己的行为，避免对他人造成伤害。如果不幸发生此类事件，应积极面对，主动承担责任，并寻求法律帮助以妥善解决问题。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。