关于“离职申请不签字是否可以继续工作以及是否合法”的问题，我们可以从以下几个方面进行详细分析：
一、劳动关系的存在与解除
劳动关系的存在：根据劳动法的相关规定，只要员工与公司之间存在实际的工作关系，即视为建立了劳动关系。这种关系的存在并不完全依赖于书面合同的签订，而是基于实际的工作事实和双方的默认。
劳动关系的解除：劳动关系的解除通常需要经过一定的程序，包括员工提出离职申请、双方协商或按照公司规定办理离职手续等。如果员工只是单方面提出了离职申请，但公司未予签字或未办理完离职手续，从法律上讲，劳动关系可能仍然存在。
二、继续工作的合法性与后果
继续工作的合法性：在劳动关系尚未正式解除的情况下，员工继续工作通常是合法的。因为此时双方仍然存在着劳动关系，员工有义务按照公司的要求和工作安排进行工作。
可能的后果：然而，如果员工在提出离职申请后，未经公司同意就擅自停止工作，这可能构成旷工或违反公司规章制度的行为。公司有权根据相关规定对员工进行处罚，甚至解除劳动关系。
三、建议与注意事项
沟通协商：在提出离职申请后，建议员工与公司进行充分的沟通协商，明确离职的具体时间和手续办理流程。如果公司拒绝签字或拖延办理离职手续，员工可以寻求法律援助或向劳动监察部门投诉。
保留证据：在离职过程中，员工应保留好所有与离职相关的证据，如离职申请、邮件往来、通话记录等。这些证据在后续可能出现的纠纷中具有重要的证明作用。
遵守规定：在离职手续未办理完毕之前，员工应继续遵守公司的规章制度和工作安排，确保工作的正常进行。
综上所述，离职申请不签字并不意味着劳动关系立即解除，员工在未经公司同意的情况下继续工作通常是合法的。但为了避免可能出现的纠纷和风险，建议员工与公司进行充分的沟通协商，并按照规定办理离职手续。