结论：连续工作一个星期公司不给休息，但支付加班费的行为，是否合法需分情况讨论。一般情况下，若公司安排的工作时间未超过法定上限，且支付了相应的加班费，则可能合法；但若超过了法定工作时间上限，即使支付加班费，也属于违法行为。
分析说明：
法定工作时间与休息休假：
- 根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，劳动者每日工作时间不超过八小时、平均每周工作时间不超过四十四小时。同时，用人单位应当保证劳动者每周至少休息一日。这是劳动者依法享有的休息休假权利。
加班与加班费：
- 如果因生产经营需要，用人单位经与工会和劳动者协商后可以延长工作时间，一般每日不得超过一小时；因特殊原因需要延长工作时间的，在保障劳动者身体健康的条件下延长工作时间每日不得超过三小时，但是每月不得超过三十六小时。
- 加班应当支付加班费，这是用人单位的法定义务。加班费的标准根据加班的时间和性质有所不同，如工作日加班、休息日加班和法定节假日加班的加班费计算标准均有所差异。
连续工作一个星期不给休息的合法性分析：
- 若公司安排的工作时间未超过法定上限：即使连续工作一个星期没有休息日，但如果每天的工作时间未超过八小时，且每周总工作时间未超过四十四小时，同时公司支付了相应的加班费（如果涉及加班的话），那么这种行为可能不构成违法。但需要注意的是，即使如此，公司也应当尽量安排劳动者休息，以保障其身心健康。
- 若公司安排的工作时间超过了法定上限：即使公司支付了加班费，但如果连续工作一个星期导致劳动者每日工作时间超过八小时或每周总工作时间超过四十四小时，甚至达到或超过每月三十六小时的加班上限，那么这种行为就构成了违法。此时，劳动者有权要求公司改正，并可以依法向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。
行动建议：
- 劳动者：如果你遇到了连续工作一个星期不给休息的情况，首先应当查看自己的工作时间是否超过了法定上限。如果未超过，且公司支付了加班费，你可以与公司协商安排休息时间；如果超过了法定上限，你可以向公司提出异议，并要求公司改正。如果公司不予理会，你可以向当地劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。
- 用人单位：作为用人单位，应当严格遵守劳动法律法规，合理安排劳动者的工作时间和休息休假。如果因生产经营需要安排劳动者加班，应当与工会和劳动者协商，并支付相应的加班费。同时，应当尽量保障劳动者的身心健康，避免过度加班。
法律后果：
- 如果用人单位违反劳动法律法规，安排劳动者连续工作超过法定时间且不支付加班费或支付不足的，劳动者有权要求用人单位支付加班费及相应的经济补偿。同时，用人单位还可能面临劳动监察部门的处罚，包括罚款、责令改正等。
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