结论：在一般情况下，公司发出终止劳动合同后，员工因后续住院手术处于医疗期，并不能直接要求双倍赔偿。但具体是否可获得赔偿及赔偿的种类和数额，需根据终止劳动合同的合法性、医疗期的相关规定以及实际情况综合判断。
分析如下：
终止劳动合同的合法性：
- 如果公司终止劳动合同的行为是合法的，比如因员工严重违反公司规章制度、严重失职等法定情形，那么员工通常无权要求赔偿，更不用说双倍赔偿了。
- 如果公司终止劳动合同的行为是违法的，比如未提前通知、未支付经济补偿等，员工则有权要求公司支付相应的赔偿，但具体是否为双倍赔偿，需根据相关法律法规和实际情况判断。
医疗期的相关规定：
- 医疗期是指员工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，而用人单位不得因此解除劳动合同的期限。在医疗期内，员工享有相应的医疗待遇和工资待遇。
- 如果员工在医疗期内，公司违法终止劳动合同，员工除了可以要求公司支付违法终止劳动合同的赔偿金外，还可以根据医疗期的相关规定，要求公司支付医疗期内的工资、医疗费用等。但这里的赔偿金并不一定是双倍赔偿，而是根据违法终止劳动合同的具体情况和相关法律法规来确定。
双倍赔偿的适用情形：
- 双倍赔偿通常适用于用人单位违反劳动合同法规定，未与劳动者订立书面劳动合同、未支付劳动报酬、未提供劳动保护或劳动条件、违法解除或终止劳动合同等情形，且劳动者要求用人单位支付赔偿金时，部分情况下可能涉及双倍赔偿（如未签订书面劳动合同的双倍工资差额）。但在员工因住院手术处于医疗期的情况下，并不直接适用双倍赔偿的规定。
建议：
- 如果您认为公司终止劳动合同的行为违法，且您正处于医疗期内，建议您首先与公司协商，要求公司支付相应的赔偿和医疗期内的待遇。
- 如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付违法终止劳动合同的赔偿金、医疗期内的工资和医疗费用等。
- 在申请仲裁或提起诉讼前，建议您收集相关证据，如劳动合同、终止劳动合同的通知、医疗证明、工资单等，以证明您的权益受到侵害。
可能后果：
- 如果您的诉求得到支持，您将获得相应的赔偿和医疗期内的待遇。
- 如果您的诉求未得到支持，您可能需要承担一定的诉讼费用和时间成本。但无论如何，维护自己的合法权益是值得的。
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