结论：若公司通知终止劳动合同的时间在员工医疗期内，员工有权要求公司继续履行劳动合同至医疗期满，并在此期间享受相应的医疗期待遇；若公司违法终止劳动合同，员工还可以要求公司支付赔偿金，但一般情况下不能直接要求双倍工资（除非涉及未签劳动合同等特定情形）。以下为详细分析：
一、医疗期内公司不得随意终止劳动合同
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同：……（三）患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的；……。这意味着，在员工处于医疗期内时，公司不得随意终止劳动合同，否则将构成违法解除。
二、医疗期内的权益保障
劳动合同继续履行：在医疗期内，员工与公司的劳动合同应当继续履行，公司不得单方面终止。员工有权享受医疗期内的工资、福利等待遇，具体标准可能根据地方规定和公司政策有所不同。
医疗期待遇：员工在医疗期内，公司应按照相关规定支付病假工资或疾病救济费，并承担医疗费用（如符合医保报销范围的部分）。这些待遇是员工在医疗期内应享有的基本权益。
三、公司违法终止劳动合同的后果
如果公司不顾员工处于医疗期内而强行终止劳动合同，这将构成违法解除。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
继续履行劳动合同：如果员工希望继续在公司工作，可以要求公司继续履行劳动合同至医疗期满。在此期间，公司应恢复员工的原岗位和待遇，并支付相应的工资和福利。
支付赔偿金：如果员工不希望继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行（如公司已倒闭等），员工可以要求公司支付赔偿金。赔偿金的计算标准通常为经济补偿金的两倍，具体根据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。
四、关于“双倍工资”的说明
在一般情况下，员工在医疗期内被违法终止劳动合同时，并不能直接要求公司支付“双倍工资”。这里的“双倍工资”通常指的是因公司未与员工签订书面劳动合同而应支付的惩罚性赔偿，与医疗期内的违法终止劳动合同无直接关联。然而，如果公司在终止劳动合同的同时还存在未签劳动合同等违法行为，员工可以一并主张相关权益。
五、建议与行动
与公司协商：首先，建议员工与公司进行协商，明确表达自己在医疗期内的权益和诉求，争取公司能够继续履行劳动合同或给予合理的赔偿。
收集证据：如果协商无果，员工应收集相关证据（如医疗证明、劳动合同、终止通知等），以证明公司违法终止劳动合同的事实。
申请劳动仲裁或提起诉讼：在收集到充分证据后，员工可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
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