在面临病危患者而家属不签字的情况下，医院的处理方式需严格遵循相关法律法规，以确保患者的生命权、身体权和健康权得到最大程度的保障。

首先，我们要明确的是，在常规医疗活动中，患者或其家属的知情同意权是至关重要的。医疗机构有义务向患者或其家属详细说明病情、诊疗方案、医疗风险以及医疗费用等事项，并取得他们的明确同意。这是尊重患者自主权和保护其合法权益的重要体现。

然而，在紧急情况下，如患者生命垂危且无法及时联系到家属，或者家属拒绝签字等，患者的知情同意权可能需要让位于医疗机构的紧急救治权。根据《中华人民共和国民法典》第一千二百二十条的规定：“因抢救生命垂危的患者等紧急情况，不能取得患者或者其近亲属意见的，经医疗机构负责人或者授权的负责人批准，可以立即实施相应的医疗措施。”这一条款为医疗机构在紧急情况下实施救治提供了法律保障。

具体来说，当遇到病危患者而家属不签字的情况时，医院应首先尝试联系患者家属，说明病情和紧急救治的重要性，争取家属的理解和支持。如果无法及时联系到家属，或者家属拒绝签字，医院应立即向医疗机构负责人或授权的负责人报告，并按照其批准的方案实施救治。

此外，根据《最高人民法院关于审理医疗损害责任纠纷案件适用法律若干问题的解释》的相关规定，如果因抢救生命垂危的患者等紧急情况且不能取得患者意见时，出现近亲属不明、不能及时联系到近亲属、近亲属拒绝发表意见、近亲属达不成一致意见等情形，医务人员经医疗机构负责人或者授权的负责人批准立即实施相应医疗措施，患者因此请求医疗机构承担赔偿责任的，不予支持。这进一步明确了医疗机构在紧急情况下的救治责任和法律地位。

因此，在病危患者家属不签字的情况下，医院应依据相关法律法规，在紧急情况下经医疗机构负责人或授权的负责人批准后，立即实施救治措施，以最大程度地保障患者的生命权和健康权。同时，医院也应加强与患者家属的沟通，解释病情和救治方案，争取家属的理解和支持，共同为患者的康复努力。